АКСИОМАТИЧЕСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ

квантовая теория поля, построенная по образцу аксиоматической теории, то есть таким образом, чтобы все ее результаты выступали как строгие следствия единой системы фундаментальных физических предположений - аксиом. Возможность представления квантовой теории поля в такой форме требует определенных условий. В отличие от аксиоматич. теорий в математике, физич. теория не может сразу строиться в виде аксиоматич. формализма. Если в математике система объектов и система аксиом для них прямо берутся в качестве исходных данных теории, то в физике исходят из определенного запаса экспериментальных фактов и нек-рой совокупности закономерностей, подмеченных в этих фактах. Неизбежным образом различные участки изучаемой области явлений (релятивистских явлений в микромире в случае квантовой теории поля) сначала описываются различными теоретич. схемами, к-рые часто не вполне согласуются между собой и, кроме того, как правило, являются лишь приближенными, а не точными. На таком этапе физич. теория еще не подготовлена к представлению в строгой аксиоматич. форме. Лишь когда надежно установлены главные закономерности, управляющие данной областью явлений, выяснена степень их общности и точные закономерности отделены от приближенных, становится целесообразным выразить их в виде системы фундаментальных аксиом и представить основные результаты теории как строгие следствия из этой системы аксиом. Таким образом, «если в математике мы аксиоматизируем, чтобы понять, то в физике нам нужно сначала понять, чтобы аксиоматизировать» (Ю. Вигнер). Эти особенности аксиоматич. метода в физике отразились и в формировании А. К. т. П. Оно происходило в середине 50-х гг., когда после создания теории перенормировок возникли надежды на последовательность квантовополевого описания хотя бы на уровне теории возмущений, и шло одновременно в нескольких направлениях. В каждом из них построение аксиоматич. схемы включает в себя те же основные этапы. Сначала выбираются исходные физич. объекты, в терминах к-рых и идет дальнейшее развитие теории. Затем находится (а иногда и строится заново) математич. аппарат, пригодный для описания объектов. Последние два этапа формулировка системы аксиом и вывод следствий из них. Физич. содержание, вносимое в теорию ее аксиомами, практически одинаково для всех направлений А. К. т. П. По существу системы аксиом - это одни и те же строго сформулированные предположения, из к-рых исходит традиционная квантовая теория поля. Прежде всего сюда входит аксиома релятивистской инвариантности: в соответствии с принципом относительности Эйнштейна, все физич. законы не должны зависеть от выбора начала отсчета, направления осей координат и времени и от равномерного прямолинейного (поступательного) движения системы отсчета. Аксиома локальности (причинности) требует, чтобы какое-либо событие, происшедшее в физич. системе, могло повлиять на поведение системы лишь в моменты времени, следующие за этим событием. Наконец, аксиома спектральности утверждает, что энергии всех допустимых состояний физич. системы (ее спектр энергий) должны быть положительны. Эта аксиома отражает фундаментальный факт положительности масс частиц, подтверждаемый всей физич. практикой. В конкретных вариантах к этим фундаментальным принципам добавляют также в качестве аксиом дополнительные требования, прежде всего положительность нормы векторов, представляющих физич. состояния. Отличия между разными вариантами А. к. т. п. определяются выбором исходных физич. величин. Возможности этого выбора весьма разнообразны, однако можно выделить три основных варианта, к к-рым сводятся все остальные. В аксиоматическом подходе Боголюбова (предложен в 1955 Н. Н. Боголюбовым) в качестве основного физич. объекта выбрана матрица рассеяния, состоящая из набора величин (амплитуд процессов), определяющих вероятности всех возможных переходов системы из состояний до начала взаимодействия в состояния после его окончания (такие состояния называются асимптотическими). В аксиоматическом подходе Уайтмена [предложен в 1956 А. С. Уайтменом (A. S. Wightman)] исходным физич. объектом служит взаимодействующее квантованное поле (поле, описывающее взаимодействия). В принципе - это ненаблюдаемая величина, являющаяся обобщением развитой еще при зарождении квантовой теории поля концепции квантованного поля свободных частиц. В алгебраическом подходе [развит в 1957-64 Р. Хаагом (R. Haag), Х. Араки (H. Araki), Д. Кастлером (D. Kastler)] фундаментальным объектом является совокупность всех наблюдаемых - набор всех физич. величин, к-рые могут быть непосредственно измерены в эксперименте (или последовательности экспериментов). Алгебраич. подход - наиболее широкий и общий из всех направлений А. к. т. п., поскольку в нем не налагается никаких ограничений на то, какими физич. характеристиками может обладать описываемая система (тем самым в форме теории локальных наблюдаемых может быть представлена, вообще говоря, любая физич. теория, как квантовая, так и классическая). Аксиомы Хаага - Араки формулируются для совокупности локальных наблюдаемых, к-рые можно определить с помощью измерений в фиксированной ограниченной области пространства-времени. Для элементов такой совокупности можно ввести алгебраич. операции сложения, умножения и умножения на число, в связи с чем ее называют алгеброй локальных наблюдаемых, или локальной алгеброй (данной области пространства-времени). Концепция локальных наблюдаемых и правила действий с ними фактически обобщают формализм операторов обычной квантовой механики и вполне естественны для квантовой физики. Алгебраич. подход эффективен при изучении наиболее общих свойств квантовой теории поля. Так, в его рамках дано простое и компактное описание свойств причинности в релятивистской квантовой теории, найдены строгие критерии эквивалентности физич. теорий и выяснено, при каких дополнительных условиях теория локальных наблюдаемых включает в себя квантованные поля. Все перечисленные подходы приспособлены, в первую очередь, для описания квантовых систем, не включающих частиц нулевой массы. Сюда относится прежде всего теория сильного взаимодействия в ее традиционной форме. Реалистич. теории с безмассовыми частицами (и наиболее важная из них - квантовая электродинамика), как правило, принадлежат к разряду теорий калибровочных полей. Для таких теорий строго доказаны теоремы запрета, согласно к-рым принципы локальности и релятивистской инвариантности несовместимы с постулатом положительности нормы в пространстве физич. состояний. Поэтому здесь возникает необходимость существенной модификации схемы А. к. т. П. Попытки построения подобной модификации связываются с использованием пространств состояний, допускающих отрицательную норму для векторов состояний (пространств с индефинитной метрикой). Подход Уайтмена - наиболее разработанное и изученное из направлений А. К. т. П., давшее самый большой вклад в ее развитие. Именно на его основе полностью выяснено, каким математич. аппаратом следует пользоваться для описания релятивистской квантовой системы с помощью взаимодействующего квантового поля. Этот аппарат позволил строго вывести из аксиом А. К. т. П. нетривиальные физич. следствия. Первым из них явилось обобщение CPT-теоремы, полученное Р. Йостом (R. Jost). CPT-теорема Йоста раскрывает глубокую связь причинных свойств теории со свойствами симметрии пространства-времени и допускает непосредственную проверку на опыте. Следующее крупное достижение подхода Уайтмена - построение теории рассеяния Хаага-Рюэля [Р. Хааг, Д. Рюэль (D. Ruelle), 1958-62], установившей, что в схеме Уайтмена, исходящей из понятия поля, а не частицы, асимптотич. состояния поля обладают свойствами частиц. Тем самым была успешно решена проблема корпускулярной интерпретации полевой теории, то есть доказано, что теория поля одновременно способна служить и теорией частиц. Аксиоматич. подход Боголюбова, первый по времени появления, оказал наибольшее влияние на развитие квантовой теории поля и вообще теории элементарных частиц (в частности, тем, что выработал понятие об амплитуде процесса в его различных каналах как о единой аналитич. функции своих переменных). Хотя в систему его аксиом входят дополнительные предположения (по-видимому, вытекающие из основных аксиом), оправданием таких допущений служит то, что с их помощью существенно сокращается путь к результатам, к-рые могут быть непосредственно проверены на опыте. Результаты такого рода в А. К. т. П. немногочисленны, но обладают особой ценностью, поскольку могут служить критериями справедливости основ квантовой теории поля. Значительная их часть получена в рамках аксиоматики Боголюбова. Прежде всего к ним относится доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (Н. Н. Боголюбов, 1956; см. Дисперсионных соотношений метод). Использование дисперсионных соотношений развилось в широкий метод изучения взаимодействия элементарных частиц, являющийся одним из основных рабочих средств квантовой теории поля. Другой принципиальный результат - доказательство аналитичности амплитуды рассеяния в нек-ром эллипсе в комплексной плоскости угла рассеяния [Х. Леман (H. Lehmann), 1958; А. Мартен (A. Martin), 1966]. Далее, для произвольных стабильных масс доказана аналитичность амплитуды (при фиксированной передаче импульса) вне окрестности начала координат разрезанной комплексной плоскости инвариантной энергии [Ж. Брос (J. Bros), В. Глазер (V. Glaser), А. Эпштейн (H. Epstein), 1965]. Последние результаты приводят к многочисленным, непосредственно проверяемым следствиям А. к. т. П. На рубеже 60-70-х гг. принципиальные проблемы этой традиционной А. к. т. п. были в основном решены. Однако в то же время наметились новые проблемы для квантовой теории поля в целом, связанные с обнаружением новых особенностей процессов взаимодействия элементарных частиц. Большую, если не главную роль в них играют структуры, недостаточно учитывавшиеся или совсем не учитывавшиеся традиционной квантовой теорией поля: правила суперотбора различных типов, калибровочные поля, фазовые переходы и топологич. заряды. Аксиоматич. подход пока не занимает в их изучении видного места. Но и на этом новом этапе квантовой теории поля фундаментальные аксиомы, лежащие в основе прежней А. К. Т. П., и ее результаты сохраняют силу и ценность для современных исследований. Новая А. к. т. п. должна быть не отменой, а обогащением прежней, включив в себя положения, к-рые отражают специфику новой структуры (что, возможно, потребует и перехода на новый математич. язык). К этому направлению относятся нек-рые результаты конструктивной квантовой теории поля, поиски строгого аппарата для теории калибровочных полей, алгебраич. теория правил суперотбора (см. Алгебраический подход). Наиболее актуальная задача в данный период - создание аксиоматич. формулировки калибровочной квантовой теории поля.

квантовая теория поля, построенная по образцу аксиоматической теории, то есть таким образом, чтобы все ее результаты выступали как строгие следствия единой системы фундаментальных физических предположений - аксиом. Возможность представления квантовой теории поля в такой форме требует определенных условий. В отличие от аксиоматич. теорий в математике, физич. теория не может сразу строиться в виде аксиоматич. формализма. Если в математике система объектов и система аксиом для них прямо берутся в качестве исходных данных теории, то в физике исходят из определенного запаса экспериментальных фактов и нек-рой совокупности закономерностей, подмеченных в этих фактах. Неизбежным образом различные участки изучаемой области явлений (релятивистских явлений в микромире в случае квантовой теории поля) сначала описываются различными теоретич. схемами, к-рые часто не вполне согласуются между собой и, кроме того, как правило, являются лишь приближенными, а не точными. На таком этапе физич. теория еще не подготовлена к представлению в строгой аксиоматич. форме. Лишь когда надежно установлены главные закономерности, управляющие данной областью явлений, выяснена степень их общности и точные закономерности отделены от приближенных, становится целесообразным выразить их в виде системы фундаментальных аксиом и представить основные результаты теории как строгие следствия из этой системы аксиом. Таким образом, «если в математике мы аксиоматизируем, чтобы понять, то в физике нам нужно сначала понять, чтобы аксиоматизировать» (Ю. Вигнер). Эти особенности аксиоматич. метода в физике отразились и в формировании А. К. т. П. Оно происходило в середине 50-х гг., когда после создания теории перенормировок возникли надежды на последовательность квантовополевого описания хотя бы на уровне теории возмущений, и шло одновременно в нескольких направлениях. В каждом из них построение аксиоматич. схемы включает в себя те же основные этапы. Сначала выбираются исходные физич. объекты, в терминах к-рых и идет дальнейшее развитие теории. Затем находится (а иногда и строится заново) математич. аппарат, пригодный для описания объектов. Последние два этапа формулировка системы аксиом и вывод следствий из них. Физич. содержание, вносимое в теорию ее аксиомами, практически одинаково для всех направлений А. К. т. П. По существу системы аксиом - это одни и те же строго сформулированные предположения, из к-рых исходит традиционная квантовая теория поля. Прежде всего сюда входит аксиома релятивистской инвариантности: в соответствии с принципом относительности Эйнштейна, все физич. законы не должны зависеть от выбора начала отсчета, направления осей координат и времени и от равномерного прямолинейного (поступательного) движения системы отсчета. Аксиома локальности (причинности) требует, чтобы какое-либо событие, происшедшее в физич. системе, могло повлиять на поведение системы лишь в моменты времени, следующие за этим событием. Наконец, аксиома спектральности утверждает, что энергии всех допустимых состояний физич. системы (ее спектр энергий) должны быть положительны. Эта аксиома отражает фундаментальный факт положительности масс частиц, подтверждаемый всей физич. практикой. В конкретных вариантах к этим фундаментальным принципам добавляют также в качестве аксиом дополнительные требования, прежде всего положительность нормы векторов, представляющих физич. состояния. Отличия между разными вариантами А. к. т. п. определяются выбором исходных физич. величин. Возможности этого выбора весьма разнообразны, однако можно выделить три основных варианта, к к-рым сводятся все остальные. В аксиоматическом подходе Боголюбова (предложен в 1955 Н. Н. Боголюбовым) в качестве основного физич. объекта выбрана матрица рассеяния, состоящая из набора величин (амплитуд процессов), определяющих вероятности всех возможных переходов системы из состояний до начала взаимодействия в состояния после его окончания (такие состояния называются асимптотическими). В аксиоматическом подходе Уайтмена [предложен в 1956 А. С. Уайтменом (A. S. Wightman)] исходным физич. объектом служит взаимодействующее квантованное поле (поле, описывающее взаимодействия). В принципе - это ненаблюдаемая величина, являющаяся обобщением развитой еще при зарождении квантовой теории поля концепции квантованного поля свободных частиц. В алгебраическом подходе [развит в 1957-64 Р. Хаагом (R. Haag), Х. Араки (H. Araki), Д. Кастлером (D. Kastler)] фундаментальным объектом является совокупность всех наблюдаемых - набор всех физич. величин, к-рые могут быть непосредственно измерены в эксперименте (или последовательности экспериментов). Алгебраич. подход - наиболее широкий и общий из всех направлений А. к. т. п., поскольку в нем не налагается никаких ограничений на то, какими физич. характеристиками может обладать описываемая система (тем самым в форме теории локальных наблюдаемых может быть представлена, вообще говоря, любая физич. теория, как квантовая, так и классическая). Аксиомы Хаага - Араки формулируются для совокупности локальных наблюдаемых, к-рые можно определить с помощью измерений в фиксированной ограниченной области пространства-времени. Для элементов такой совокупности можно ввести алгебраич. операции сложения, умножения и умножения на число, в связи с чем ее называют алгеброй локальных наблюдаемых, или локальной алгеброй (данной области пространства-времени). Концепция локальных наблюдаемых и правила действий с ними фактически обобщают формализм операторов обычной квантовой механики и вполне естественны для квантовой физики. Алгебраич. подход эффективен при изучении наиболее общих свойств квантовой теории поля. Так, в его рамках дано простое и компактное описание свойств причинности в релятивистской квантовой теории, найдены строгие критерии эквивалентности физич. теорий и выяснено, при каких дополнительных условиях теория локальных наблюдаемых включает в себя квантованные поля. Все перечисленные подходы приспособлены, в первую очередь, для описания квантовых систем, не включающих частиц нулевой массы. Сюда относится прежде всего теория сильного взаимодействия в ее традиционной форме. Реалистич. теории с безмассовыми частицами (и наиболее важная из них - квантовая электродинамика), как правило, принадлежат к разряду теорий калибровочных полей. Для таких теорий строго доказаны теоремы запрета, согласно к-рым принципы локальности и релятивистской инвариантности несовместимы с постулатом положительности нормы в пространстве физич. состояний. Поэтому здесь возникает необходимость существенной модификации схемы А. к. т. П. Попытки построения подобной модификации связываются с использованием пространств состояний, допускающих отрицательную норму для векторов состояний (пространств с индефинитной метрикой). Подход Уайтмена - наиболее разработанное и изученное из направлений А. К. т. П., давшее самый большой вклад в ее развитие. Именно на его основе полностью выяснено, каким математич. аппаратом следует пользоваться для описания релятивистской квантовой системы с помощью взаимодействующего квантового поля. Этот аппарат позволил строго вывести из аксиом А. К. т. П. нетривиальные физич. следствия. Первым из них явилось обобщение CPT-теоремы, полученное Р. Йостом (R. Jost). CPT-теорема Йоста раскрывает глубокую связь причинных свойств теории со свойствами симметрии пространства-времени и допускает непосредственную проверку на опыте. Следующее крупное достижение подхода Уайтмена - построение теории рассеяния Хаага-Рюэля [Р. Хааг, Д. Рюэль (D. Ruelle), 1958-62], установившей, что в схеме Уайтмена, исходящей из понятия поля, а не частицы, асимптотич. состояния поля обладают свойствами частиц. Тем самым была успешно решена проблема корпускулярной интерпретации полевой теории, то есть доказано, что теория поля одновременно способна служить и теорией частиц. Аксиоматич. подход Боголюбова, первый по времени появления, оказал наибольшее влияние на развитие квантовой теории поля и вообще теории элементарных частиц (в частности, тем, что выработал понятие об амплитуде процесса в его различных каналах как о единой аналитич. функции своих переменных). Хотя в систему его аксиом входят дополнительные предположения (по-видимому, вытекающие из основных аксиом), оправданием таких допущений служит то, что с их помощью существенно сокращается путь к результатам, к-рые могут быть непосредственно проверены на опыте. Результаты такого рода в А. К. т. П. немногочисленны, но обладают особой ценностью, поскольку могут служить критериями справедливости основ квантовой теории поля. Значительная их часть получена в рамках аксиоматики Боголюбова. Прежде всего к ним относится доказательство дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (Н. Н. Боголюбов, 1956; см. Дисперсионных соотношений метод). Использование дисперсионных соотношений развилось в широкий метод изучения взаимодействия элементарных частиц, являющийся одним из основных рабочих средств квантовой теории поля. Другой принципиальный результат - доказательство аналитичности амплитуды рассеяния в нек-ром эллипсе в комплексной плоскости угла рассеяния [Х. Леман (H. Lehmann), 1958; А. Мартен (A. Martin), 1966]. Далее, для произвольных стабильных масс доказана аналитичность амплитуды (при фиксированной передаче импульса) вне окрестности начала координат разрезанной комплексной плоскости инвариантной энергии [Ж. Брос (J. Bros), В. Глазер (V. Glaser), А. Эпштейн (H. Epstein), 1965]. Последние результаты приводят к многочисленным, непосредственно проверяемым следствиям А. к. т. П. На рубеже 60-70-х гг. принципиальные проблемы этой традиционной А. к. т. п. были в основном решены. Однако в то же время наметились новые проблемы для квантовой теории поля в целом, связанные с обнаружением новых особенностей процессов взаимодействия элементарных частиц. Большую, если не главную роль в них играют структуры, недостаточно учитывавшиеся или совсем не учитывавшиеся традиционной квантовой теорией поля: правила суперотбора различных типов, калибровочные поля, фазовые переходы и топологич. заряды. Аксиоматич. подход пока не занимает в их изучении видного места. Но и на этом новом этапе квантовой теории поля фундаментальные аксиомы, лежащие в основе прежней А. К. Т. П., и ее результаты сохраняют силу и ценность для современных исследований. Новая А. к. т. п. должна быть не отменой, а обогащением прежней, включив в себя положения, к-рые отражают специфику новой структуры (что, возможно, потребует и перехода на новый математич. язык). К этому направлению относятся нек-рые результаты конструктивной квантовой теории поля, поиски строгого аппарата для теории калибровочных полей, алгебраич. теория правил суперотбора (см. Алгебраический подход). Наиболее актуальная задача в данный период - создание аксиоматич. формулировки калибровочной квантовой теории поля.