ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

волновая функция, описывающая состояния частицы. Для свободной релятивистской частицы В. п. в координатном представлении определяется из уравнения Шредингера: \[ \begin{gathered} i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(t, x)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi(t, x), \\ \psi(0, x)=\psi_{0}(x), \quad x \in \mathbb{R}^{3}, \end{gathered} \] где $\psi_{0}(x)-$ функция, локализованная в окрестности нек-рой точки $x_{0}$. Решение уравнения (1) можно представить в виде суперпозиции плоских волн: \[ \psi(t, x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int d^{3} p \exp \left(\frac{i(p x-E(p) t)}{\hbar}\right) \tilde{\Psi}_{0}(p), \] что и объясняет происхождение термина «В. п.» (в последней формуле $\tilde{\psi}_{0}(p)$ - волновая функция частицы в импульсном представлении при $t=0$ ). Пусть $x_{0}$ и $p_{0}-$ средние значения координаты и импульса частицы в момент $t=0$. Тогда из (1), (2) следует, что среднее значение координаты $x_{t}$ в момент времени $t$ дается формулой \[ x_{t}=x_{0}+\frac{p_{0}}{m} t . \] Иными словами, центр тяжести В. п. движется как свободная частица. Это обстоятельство сыграло большую роль на раннем этапе развития квантовой механики. С течением времени В. П. расплывается. Пусть $(\Delta x)_{t}^{2}$ и $(\Delta p)_{t}^{2}$ - дисперсии координаты и импульса в состоянии с волновой функцией $\psi(t, x)$. Тогда при больших $t$ \[ \sqrt{(\Delta x)_{t}^{2}} \approx \sqrt{(\Delta p)_{0}^{2}} \frac{t}{m} . \] Физически расплывание В. п. можно объяснить на основании принципа неопределенностей Гейзенберга, в соответствии с к-рым дисперсия скорости в момент $t=0$ определяется формулой: \[ (\Delta v)_{0}=\sqrt{(\Delta p)_{0}^{2}} \frac{1}{m} \approx \frac{\hbar}{m}\left(\sqrt{(\Delta x)_{0}^{2}}\right)^{-1} . \] Это приводит к дисперсии $\sqrt{(\Delta x)_{0}^{2}}=t(\Delta v)_{0}$, что качественно согласуется с (3). Понятие «В. п.» имеет смысл также и в присутствии внешнего поля. В этом случае соотношения (3) уже не имеют места. В частности, В. п., отвечающий стационарным состояниям частицы во внешнем поле, не расплывается с течением времени. Ф. А. Лунев.

волновая функция, описывающая состояния частицы. Для свободной релятивистской частицы В. п. в координатном представлении определяется из уравнения Шредингера: \[ \begin{gathered} i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}(t, x)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta \psi(t, x), \\ \psi(0, x)=\psi_{0}(x), \quad x \in \mathbb{R}^{3}, \end{gathered} \] где $\psi_{0}(x)-$ функция, локализованная в окрестности нек-рой точки $x_{0}$. Решение уравнения (1) можно представить в виде суперпозиции плоских волн: \[ \psi(t, x)=\frac{1}{(2 \pi)^{3 / 2}} \int d^{3} p \exp \left(\frac{i(p x-E(p) t)}{\hbar}\right) \tilde{\Psi}_{0}(p), \] что и объясняет происхождение термина «В. п.» (в последней формуле $\tilde{\psi}_{0}(p)$ - волновая функция частицы в импульсном представлении при $t=0$ ). Пусть $x_{0}$ и $p_{0}-$ средние значения координаты и импульса частицы в момент $t=0$. Тогда из (1), (2) следует, что среднее значение координаты $x_{t}$ в момент времени $t$ дается формулой \[ x_{t}=x_{0}+\frac{p_{0}}{m} t . \] Иными словами, центр тяжести В. п. движется как свободная частица. Это обстоятельство сыграло большую роль на раннем этапе развития квантовой механики. С течением времени В. П. расплывается. Пусть $(\Delta x)_{t}^{2}$ и $(\Delta p)_{t}^{2}$ - дисперсии координаты и импульса в состоянии с волновой функцией $\psi(t, x)$. Тогда при больших $t$ \[ \sqrt{(\Delta x)_{t}^{2}} \approx \sqrt{(\Delta p)_{0}^{2}} \frac{t}{m} . \] Физически расплывание В. п. можно объяснить на основании принципа неопределенностей Гейзенберга, в соответствии с к-рым дисперсия скорости в момент $t=0$ определяется формулой: \[ (\Delta v)_{0}=\sqrt{(\Delta p)_{0}^{2}} \frac{1}{m} \approx \frac{\hbar}{m}\left(\sqrt{(\Delta x)_{0}^{2}}\right)^{-1} . \] Это приводит к дисперсии $\sqrt{(\Delta x)_{0}^{2}}=t(\Delta v)_{0}$, что качественно согласуется с (3). Понятие «В. п.» имеет смысл также и в присутствии внешнего поля. В этом случае соотношения (3) уже не имеют места. В частности, В. п., отвечающий стационарным состояниям частицы во внешнем поле, не расплывается с течением времени. Ф. А. Лунев.