ВПОЛНЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Отображение $\Phi$ из $C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ в $C^{*}$-алгебру $\mathscr{B}$, удовлетворяющее условию: для любого $n=1,2, \ldots$ и любой положительной $(n \times n)$-матрицы с элементами $X_{i j} \in \mathscr{\varkappa}, i, j=1, \ldots, n$, матрица с элементами $\Phi\left(X_{i j}\right) \in \mathscr{B}$ положительна. Всякое в.п.о. положительно, то есть $X \geqslant 0$ влечет $\Phi(X) \geqslant 0$; пример положительного отображения, не являющегося в.п.о., - транспонирование в алгебре комплексных $(d \times d)$-матриц $(d>1)$. Всякий *-гомоморфизм и условное ожидание являются в.п.о. Если $\mathscr{A}$ или $\mathscr{B}$ коммутативна, то всякое линейное положительное отображение из $\mathscr{A}$ в $\mathscr{B}$ является в.п.о. Структура в.п.о. раскрывается теоремой Стайнспринга: пусть $\Phi-$ линейное в.п.о. из $C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ в алгебру $\mathfrak{B}(H)$ всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $H$, тогда существует гильбертово пространство $K \supset H,{ }^{*}$-гомоморфизм $\pi$ алгебры $\mathscr{A}$ в $\mathfrak{B}(K)$ и ограниченный оператор $V$ из $H$ в $K$ такие, что $\Phi(X)=V^{*} \pi(X) V$. В частности, если $\mathscr{A}=\mathfrak{B}(H)$, то всякое нормальное линейное в.п.о. имеет вид: \[ \Phi(X)=\sum_{i} V_{i}^{*} X V_{i}, \quad X \in \mathfrak{B}(H), \] где $V_{i} \in \mathfrak{B}(H)$ и ряд $\sum_{i} V_{i}^{*} V_{i}$ сходится в сильной операторной топологии $\mathfrak{B}(H)$. Понятие в.п.о. играет важную роль в структурной теории алгебр фон Неймана, в алгебраич. формулировке неравновесной квантовой статистич. механики и в теории квантового измерения. См. Динамическая полугруппа, Инструмент. Лит.: [1] Arveson W., «Acta math.», 1969, v. 123, p. 141-224; [2] Stinespring W. F., «Proc. Amer. Math. Soc.», 1955, v. 6, p. 211-16; [3] Størmer E., «Lect. Notes in Phys.», 1974, v. 29, $\begin{array}{ll}\text { p. 85-106. } & \text { А. Х. Холево. }\end{array}$

Отображение $\Phi$ из $C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ в $C^{*}$-алгебру $\mathscr{B}$, удовлетворяющее условию: для любого $n=1,2, \ldots$ и любой положительной $(n \times n)$-матрицы с элементами $X_{i j} \in \mathscr{\varkappa}, i, j=1, \ldots, n$, матрица с элементами $\Phi\left(X_{i j}\right) \in \mathscr{B}$ положительна. Всякое в.п.о. положительно, то есть $X \geqslant 0$ влечет $\Phi(X) \geqslant 0$; пример положительного отображения, не являющегося в.п.о., - транспонирование в алгебре комплексных $(d \times d)$-матриц $(d>1)$. Всякий *-гомоморфизм и условное ожидание являются в.п.о. Если $\mathscr{A}$ или $\mathscr{B}$ коммутативна, то всякое линейное положительное отображение из $\mathscr{A}$ в $\mathscr{B}$ является в.п.о. Структура в.п.о. раскрывается теоремой Стайнспринга: пусть $\Phi-$ линейное в.п.о. из $C^{*}$-алгебры $\mathscr{A}$ в алгебру $\mathfrak{B}(H)$ всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве $H$, тогда существует гильбертово пространство $K \supset H,{ }^{*}$-гомоморфизм $\pi$ алгебры $\mathscr{A}$ в $\mathfrak{B}(K)$ и ограниченный оператор $V$ из $H$ в $K$ такие, что $\Phi(X)=V^{*} \pi(X) V$. В частности, если $\mathscr{A}=\mathfrak{B}(H)$, то всякое нормальное линейное в.п.о. имеет вид: \[ \Phi(X)=\sum_{i} V_{i}^{*} X V_{i}, \quad X \in \mathfrak{B}(H), \] где $V_{i} \in \mathfrak{B}(H)$ и ряд $\sum_{i} V_{i}^{*} V_{i}$ сходится в сильной операторной топологии $\mathfrak{B}(H)$. Понятие в.п.о. играет важную роль в структурной теории алгебр фон Неймана, в алгебраич. формулировке неравновесной квантовой статистич. механики и в теории квантового измерения. См. Динамическая полугруппа, Инструмент. Лит.: [1] Arveson W., «Acta math.», 1969, v. 123, p. 141-224; [2] Stinespring W. F., «Proc. Amer. Math. Soc.», 1955, v. 6, p. 211-16; [3] Størmer E., «Lect. Notes in Phys.», 1974, v. 29, $\begin{array}{ll}\text { p. 85-106. } & \text { А. Х. Холево. }\end{array}$