ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1) В. Д. вокруг неподвижной оси - движение твердого тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Тело, совершающее В. Д., имеет одну степень свободы, и его положение относительно данной системы отсчета определяется углом поворота $\varphi$ между неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жестко связанной с телом, проведенными через ось вращения (рис. 1). Рис. 1. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.  В. д. задается уравнением $\varphi=f(t)$, где $t-$ время. Основные кинематич. характеристики В. Д. тела: его угловая скорость \[ \omega=d \varphi / d t \] и угловое ускорение \[ \varepsilon=d \omega / d t=d^{2} \varphi / d t^{2} \] Для любой точки тела, находящейся на расстоянии $h$ от оси вращения, линейная скорость \[ v=\omega h \] касательное ускорение \[ w_{\tau}=h \varepsilon \] нормальное ускорение \[ w_{n}=h \omega^{2} \] полное ускорение \[ w=h \sqrt{\varepsilon^{2}+\omega^{4}} \] Таким образом, скорости и ускорения всех точек тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Основными динамич. характеристиками В. Д. тела являются его главные моменты количеств движения относительно связанных с телом осей $x, y, z$ ( $z-$ ось вращения), равные: \[ K_{x}=-I_{x z} \omega, K_{y}=-I_{y z} \omega, K_{z}=I_{z} \omega \] и кинетич. энергия \[ T=1 / 2 I_{z} \omega^{2}, \] где $I_{z}$ - осевой, а $I_{x z}, I_{y z}$ - центробежные моменты инерции. 2) В. Д. вокруг точки (или сферическое движение) - движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку $O$ (напр., движение гироскопа, закрепленного в кардановом подвесе). Каждая из точек тела при этом В. д. перемещается по поверхности сферы с центром в точке $O$. В. Д. тела вокруг точки слагается из серии элементарных или мгновенных В. Д. вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. Мгновенная ось вращения непрерывно изменяет свое положение как по отношению к системе отсчета, в к-рой рассматривается движение тела, так и в самом теле, образуя при этом две конич. поверхности, называемые соответственно неподвижным и подвижным аксоидами. Качением подвижного аксоида по неподвижному можно осуществить геометрич. картину движения тела в этом случае (рис. 2).  Рис. 2. Подвижный и неподвижный аксоиды. Тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы, и его положение по отношению к данной системе отсчета определяется тремя параметрами, напр. углами Эйлера $\varphi, \psi$ и $\theta$. Закон движения тела задается в этом случае уравнениями \[ \varphi=f_{1}(t), \psi=f_{2}(t), \theta=f_{3}(t) . \] Кинематич. характеристиками движения являются вектор угловой скорости $\omega$, направленный в каждый момент времени вдоль мгновенной оси вращения, и вектор углового ускорения $\varepsilon$, направленный параллельно касательной к годографу вектора $\omega$. Если движение задано уравнениями $(*)$, то проекции вектора $\omega$ на прямоугольные оси системы $O x y z$, жестко связанные с движущимся телом, определяются кинематич. уравнениями Эйлера \[ \begin{gathered} \omega_{x}=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\ \omega_{y}=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi, \\ \omega_{z}=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta, \end{gathered} \] где $\dot{\varphi}, \dot{\psi}, \dot{\theta}-$ производные от углов Эйлера по времени $t$. Векторы линейной скорости $\boldsymbol{v}$ и ускорения $\boldsymbol{w}$ любой точки тела равны \[ \boldsymbol{v}=[\omega \boldsymbol{r}] ; \boldsymbol{w}=[\varepsilon \boldsymbol{r}]+[\omega \boldsymbol{v}] \] где $\boldsymbol{r}-$ радиус-вектор, проведенный в данную точку тела из неподвижной точки $O$. Проекции вектора $\boldsymbol{v}$ на оси системы $O x y z$ определяются формулами Эйлера \[ v_{x}=\omega_{y} z-\omega_{z} y ; v_{y}=\omega_{z} x-\omega_{x} z ; v_{z}=\omega_{x} y-\omega_{y} x . \] Основными динамич. характеристиками тела с неподвижной точкой $O$ являются моменты количеств движения относительно главных осей инерции $x, y, z$, проведенных в точке $O$ : \[ K_{x}=I_{x} \omega_{x} ; K_{y}=I_{y} \omega_{y} ; K_{z}=I_{z} \omega_{z} \] и кинетич. энергия \[ T=1 / 2\left(I_{x} \omega_{x}^{2}+I_{y} \omega_{y}^{2}+I_{z} \omega_{z}^{2}\right) \] где $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ - моменты инерции тела относительно упомянутых главных осей; $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}-$ проекции $\omega$ на эти оси. Количество движения тела при любом виде движения равно $\boldsymbol{Q}=m \boldsymbol{v}_{c}$, где $m-$ масса тела, $\boldsymbol{v}_{c}-$ скорость центра $c$ масс. С. М. Тарг.

1) В. Д. вокруг неподвижной оси - движение твердого тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Тело, совершающее В. Д., имеет одну степень свободы, и его положение относительно данной системы отсчета определяется углом поворота $\varphi$ между неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жестко связанной с телом, проведенными через ось вращения (рис. 1). Рис. 1. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.  В. д. задается уравнением $\varphi=f(t)$, где $t-$ время. Основные кинематич. характеристики В. Д. тела: его угловая скорость \[ \omega=d \varphi / d t \] и угловое ускорение \[ \varepsilon=d \omega / d t=d^{2} \varphi / d t^{2} \] Для любой точки тела, находящейся на расстоянии $h$ от оси вращения, линейная скорость \[ v=\omega h \] касательное ускорение \[ w_{\tau}=h \varepsilon \] нормальное ускорение \[ w_{n}=h \omega^{2} \] полное ускорение \[ w=h \sqrt{\varepsilon^{2}+\omega^{4}} \] Таким образом, скорости и ускорения всех точек тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Основными динамич. характеристиками В. Д. тела являются его главные моменты количеств движения относительно связанных с телом осей $x, y, z$ ( $z-$ ось вращения), равные: \[ K_{x}=-I_{x z} \omega, K_{y}=-I_{y z} \omega, K_{z}=I_{z} \omega \] и кинетич. энергия \[ T=1 / 2 I_{z} \omega^{2}, \] где $I_{z}$ - осевой, а $I_{x z}, I_{y z}$ - центробежные моменты инерции. 2) В. Д. вокруг точки (или сферическое движение) - движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку $O$ (напр., движение гироскопа, закрепленного в кардановом подвесе). Каждая из точек тела при этом В. д. перемещается по поверхности сферы с центром в точке $O$. В. Д. тела вокруг точки слагается из серии элементарных или мгновенных В. Д. вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку. Мгновенная ось вращения непрерывно изменяет свое положение как по отношению к системе отсчета, в к-рой рассматривается движение тела, так и в самом теле, образуя при этом две конич. поверхности, называемые соответственно неподвижным и подвижным аксоидами. Качением подвижного аксоида по неподвижному можно осуществить геометрич. картину движения тела в этом случае (рис. 2).  Рис. 2. Подвижный и неподвижный аксоиды. Тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы, и его положение по отношению к данной системе отсчета определяется тремя параметрами, напр. углами Эйлера $\varphi, \psi$ и $\theta$. Закон движения тела задается в этом случае уравнениями \[ \varphi=f_{1}(t), \psi=f_{2}(t), \theta=f_{3}(t) . \] Кинематич. характеристиками движения являются вектор угловой скорости $\omega$, направленный в каждый момент времени вдоль мгновенной оси вращения, и вектор углового ускорения $\varepsilon$, направленный параллельно касательной к годографу вектора $\omega$. Если движение задано уравнениями $(*)$, то проекции вектора $\omega$ на прямоугольные оси системы $O x y z$, жестко связанные с движущимся телом, определяются кинематич. уравнениями Эйлера \[ \begin{gathered} \omega_{x}=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\ \omega_{y}=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi, \\ \omega_{z}=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta, \end{gathered} \] где $\dot{\varphi}, \dot{\psi}, \dot{\theta}-$ производные от углов Эйлера по времени $t$. Векторы линейной скорости $\boldsymbol{v}$ и ускорения $\boldsymbol{w}$ любой точки тела равны \[ \boldsymbol{v}=[\omega \boldsymbol{r}] ; \boldsymbol{w}=[\varepsilon \boldsymbol{r}]+[\omega \boldsymbol{v}] \] где $\boldsymbol{r}-$ радиус-вектор, проведенный в данную точку тела из неподвижной точки $O$. Проекции вектора $\boldsymbol{v}$ на оси системы $O x y z$ определяются формулами Эйлера \[ v_{x}=\omega_{y} z-\omega_{z} y ; v_{y}=\omega_{z} x-\omega_{x} z ; v_{z}=\omega_{x} y-\omega_{y} x . \] Основными динамич. характеристиками тела с неподвижной точкой $O$ являются моменты количеств движения относительно главных осей инерции $x, y, z$, проведенных в точке $O$ : \[ K_{x}=I_{x} \omega_{x} ; K_{y}=I_{y} \omega_{y} ; K_{z}=I_{z} \omega_{z} \] и кинетич. энергия \[ T=1 / 2\left(I_{x} \omega_{x}^{2}+I_{y} \omega_{y}^{2}+I_{z} \omega_{z}^{2}\right) \] где $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ - моменты инерции тела относительно упомянутых главных осей; $\omega_{x}, \omega_{y}, \omega_{z}-$ проекции $\omega$ на эти оси. Количество движения тела при любом виде движения равно $\boldsymbol{Q}=m \boldsymbol{v}_{c}$, где $m-$ масса тела, $\boldsymbol{v}_{c}-$ скорость центра $c$ масс. С. М. Тарг.