ВРАЩЕНИЙ ГРУППА

непрерывная группа преобразований пространства с фиксированной неподвижной точкой (центром вращений), оставляющих неизменным расстояние между двумя произвольными точками; сохраняются также углы между произвольными векторами. Для В. г. принято обозначение $O(n)$, где $n$ - размерность пространства. В дальнейшем речь пойдет о физически интересной В. г. трехмерного пространства $O(3)$. Выделяют собственную группу вращений $S O$ (3), к-рая в дополнение к свойствам, указанным выше, сохраняет ориентацию пространства (координатных осей). Полная В. г. разлагается в прямое произведение собственной В. г. и группы отражений (состоящей всего из двух элементов). В ряде физич. задач имеет место инвариантность относительно В. г.; такой инвариантностью обладают, напр., Лапласа уравнение и однородное уравнение Гельмгольца. Инвариантность относительно В. г. приводит к закону сохранения углового момента. Эта величина играет определяющую роль при классификации решений соответствующих уравнений. Математически В. г. является одной из простейших компактных групп Ли. Любое собственное трехмерное вращение определяется заданием трех непрерывно меняющихся параметров, так что вся группа $S O$ (3) представляет собой трехмерное многообразие, топологически эквивалентное трехмерному проективному пространству (трехмерной сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками). Группа $O(3)$ состоит из двух связных компонент, каждая из к-рых совпадает с $S O(3)$. В качестве параметров удобно выбрать так наз. Эйлера углы $\varphi, \theta$ и $\psi$. Связь новых координат со старыми имеет вид: \[ x_{i}^{\prime}=M_{i k}(\varphi, \theta, \psi) x_{k} \] где \[ \begin{gathered} M_{i k}(\varphi, \theta, \psi)=g_{1}(\varphi) g_{2}(\theta) g_{1}(\psi), \\ g_{1}(\varphi)=\left\|\begin{array}{ccc} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\|, \quad g_{2}(\theta)=\left\|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right\| . \end{gathered} \] При последовательном выполнении двух вращений матрицы $M_{i k}$ перемножаются. Матрицы $M_{i k}$ образуют одно из представлений В. г., называемое присоединенным. Матрица $M_{i k}$ определяет преобразование при повороте не только самих координат, но и любых векторов: связь компонент вектора в старых координатах и в новых также определяется формулой $\left({ }^{*}\right)$. Существуют и другие представления В. г. Простейшее представление - скалярное: скаляры вообще не преобразуются при повороте. Более сложные представления связаны с преобразованием компонент тензоров второго и более высоких рангов. В пространстве дифференцируемых функций $f(\theta, \varphi)$, заданных на поверхности сферы единичного радиуса, базис представлений В. г. образуют сферич. функции. Преобразование этого базиса при вращениях описывается матрицей представления, элементами к-рой являются Вигнера функции. В квантовой механике важную роль играют представления, связанные с преобразованием при повороте волновой функции системы с определенным значением углового момента $J$. Скалярное представление соответствует $J=0$, векторное - случаю $J=1$ (в единицах $\hbar), J=2$ соответствует симметричному тензору второго ранга с равным нулю следом и т. д. Представлениями с определенным значением $J$ исчерпываются все возможные представления $S O(3)$. Часто вводят также представления в виде матриц четного ранга, связанные с преобразованием при повороте волновых функций систем с полуцелым спином. Они не являются настоящими представлениями В. г., так как волновая функция при повороте на $2 \pi$ вокруг нек-рой оси меняет знак. Причина этого в том, что полуцелый спин не описывается последовательно в рамках нерелятивистской квантовой механики, для его описания следует привлекать Лоренца группу. Однако в ряде задач, когда все релятивистские явления сводятся к наличию спина, можно рассматривать двузначные представления В. г., где каждому вращению соответствует не одна унитарная матрица, а две различающиеся знаком матрицы. Двузначным (спинорным) представлениям $S O(3)$ соответствуют истинные представления накрывающей группы $S U(2)$. Произведение неприводимых представлений В. г. не является неприводимым, но может быть разложено в прямую сумму неприводимых представлений. Коэффициенты этого разложения (Клебша - Гордана коэффициенты) используют в квантовой механике при вычислении матричных элементов различных операторов и при построении волновых функций составных систем. Вращение на малый угол можно представить в виде \[ \hat{M}=1+\hat{T}_{12} \varphi_{12}+\hat{T}_{13} \varphi_{13}+\hat{T}_{23} \varphi_{23}, \] где $\hat{M}$ - матрица вращения в нек-ром представлении, $\varphi_{m n}$ - малые углы поворота в трех независимых плоскостях, а $\hat{T}_{m n}$ - фиксированные матрицы, к-рые в данном представлении называются генераторами В. г. В квантовой механике генераторы В. г. имеют наглядный физич. смысл и совпадают с операторами углового момента $\hat{\boldsymbol{J}}$. Некоммутативность В. г. отражается в том факте, что коммутатор $\left[\hat{J}_{m}, \hat{J}_{n}\right]$ отличен от нуля при $m \neq n$. Отметим, что в нек-рых физич. задачах находят применение и группы $O(n)$ с $n>3$. Так, группа $O(4)$ оказалась полезной при классификации состояний атома водорода, в теории гравитации интерес представляет связанная с группой $O(5)$ де Ситтера группа, при попытках построения единой квантовой теории поля используют В. г. высших размерностей вплоть до $O(32)$.

непрерывная группа преобразований пространства с фиксированной неподвижной точкой (центром вращений), оставляющих неизменным расстояние между двумя произвольными точками; сохраняются также углы между произвольными векторами. Для В. г. принято обозначение $O(n)$, где $n$ - размерность пространства. В дальнейшем речь пойдет о физически интересной В. г. трехмерного пространства $O(3)$. Выделяют собственную группу вращений $S O$ (3), к-рая в дополнение к свойствам, указанным выше, сохраняет ориентацию пространства (координатных осей). Полная В. г. разлагается в прямое произведение собственной В. г. и группы отражений (состоящей всего из двух элементов). В ряде физич. задач имеет место инвариантность относительно В. г.; такой инвариантностью обладают, напр., Лапласа уравнение и однородное уравнение Гельмгольца. Инвариантность относительно В. г. приводит к закону сохранения углового момента. Эта величина играет определяющую роль при классификации решений соответствующих уравнений. Математически В. г. является одной из простейших компактных групп Ли. Любое собственное трехмерное вращение определяется заданием трех непрерывно меняющихся параметров, так что вся группа $S O$ (3) представляет собой трехмерное многообразие, топологически эквивалентное трехмерному проективному пространству (трехмерной сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками). Группа $O(3)$ состоит из двух связных компонент, каждая из к-рых совпадает с $S O(3)$. В качестве параметров удобно выбрать так наз. Эйлера углы $\varphi, \theta$ и $\psi$. Связь новых координат со старыми имеет вид: \[ x_{i}^{\prime}=M_{i k}(\varphi, \theta, \psi) x_{k} \] где \[ \begin{gathered} M_{i k}(\varphi, \theta, \psi)=g_{1}(\varphi) g_{2}(\theta) g_{1}(\psi), \\ g_{1}(\varphi)=\left\|\begin{array}{ccc} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\|, \quad g_{2}(\theta)=\left\|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right\| . \end{gathered} \] При последовательном выполнении двух вращений матрицы $M_{i k}$ перемножаются. Матрицы $M_{i k}$ образуют одно из представлений В. г., называемое присоединенным. Матрица $M_{i k}$ определяет преобразование при повороте не только самих координат, но и любых векторов: связь компонент вектора в старых координатах и в новых также определяется формулой $\left({ }^{*}\right)$. Существуют и другие представления В. г. Простейшее представление - скалярное: скаляры вообще не преобразуются при повороте. Более сложные представления связаны с преобразованием компонент тензоров второго и более высоких рангов. В пространстве дифференцируемых функций $f(\theta, \varphi)$, заданных на поверхности сферы единичного радиуса, базис представлений В. г. образуют сферич. функции. Преобразование этого базиса при вращениях описывается матрицей представления, элементами к-рой являются Вигнера функции. В квантовой механике важную роль играют представления, связанные с преобразованием при повороте волновой функции системы с определенным значением углового момента $J$. Скалярное представление соответствует $J=0$, векторное - случаю $J=1$ (в единицах $\hbar), J=2$ соответствует симметричному тензору второго ранга с равным нулю следом и т. д. Представлениями с определенным значением $J$ исчерпываются все возможные представления $S O(3)$. Часто вводят также представления в виде матриц четного ранга, связанные с преобразованием при повороте волновых функций систем с полуцелым спином. Они не являются настоящими представлениями В. г., так как волновая функция при повороте на $2 \pi$ вокруг нек-рой оси меняет знак. Причина этого в том, что полуцелый спин не описывается последовательно в рамках нерелятивистской квантовой механики, для его описания следует привлекать Лоренца группу. Однако в ряде задач, когда все релятивистские явления сводятся к наличию спина, можно рассматривать двузначные представления В. г., где каждому вращению соответствует не одна унитарная матрица, а две различающиеся знаком матрицы. Двузначным (спинорным) представлениям $S O(3)$ соответствуют истинные представления накрывающей группы $S U(2)$. Произведение неприводимых представлений В. г. не является неприводимым, но может быть разложено в прямую сумму неприводимых представлений. Коэффициенты этого разложения (Клебша - Гордана коэффициенты) используют в квантовой механике при вычислении матричных элементов различных операторов и при построении волновых функций составных систем. Вращение на малый угол можно представить в виде \[ \hat{M}=1+\hat{T}_{12} \varphi_{12}+\hat{T}_{13} \varphi_{13}+\hat{T}_{23} \varphi_{23}, \] где $\hat{M}$ - матрица вращения в нек-ром представлении, $\varphi_{m n}$ - малые углы поворота в трех независимых плоскостях, а $\hat{T}_{m n}$ - фиксированные матрицы, к-рые в данном представлении называются генераторами В. г. В квантовой механике генераторы В. г. имеют наглядный физич. смысл и совпадают с операторами углового момента $\hat{\boldsymbol{J}}$. Некоммутативность В. г. отражается в том факте, что коммутатор $\left[\hat{J}_{m}, \hat{J}_{n}\right]$ отличен от нуля при $m \neq n$. Отметим, что в нек-рых физич. задачах находят применение и группы $O(n)$ с $n>3$. Так, группа $O(4)$ оказалась полезной при классификации состояний атома водорода, в теории гравитации интерес представляет связанная с группой $O(5)$ де Ситтера группа, при попытках построения единой квантовой теории поля используют В. г. высших размерностей вплоть до $O(32)$.