ВЫНУЖДЕННОЕ КОЛЕБАНИЕ

незатухающее колебание в какой-либо материальной системе, возникающее под действием внешней переменной во времени силы. В линейной диссипативной системе при действии на нее внешней силы, изменяющейся по гармонич. закону, В. к. имеют частоту внешней силы. Амплитуда В. к. определяется параметрами внешнего воздействия (амплитудой, частотой) и коэффициентами сопротивления среды, в к-рой происходят колебания материальной системы. Если частота внешней силы близка к одной из частот собственных колебаний системы, то амплитуда В. к. может иметь достаточно большую величину, тем большую, чем меньше сопротивление среды. В случае отсутствия сопротивления среды при совпадении частоты внешней силы с одной из частот собственных колебаний системы амплитуда В. к. неограниченно возрастает пропорционально времени. Это явление носит название резонанса. При включении внешней силы в материальной системе возникают как В. к., так и собственные колебания. В диссипативной системе собственные колебания затухают, и в системе остаются только В. к. (установившийся режим). Режим перехода к установившимся колебаниям называется переходным режимом. Время переходного режима тем меньше, чем больше сопротивление среды. Если внешняя сила является периодич. функцией времени с периодом $T=2 \pi / p$, к-рая может быть представлена рядом Фурье, то в линейной системе возникают В. к., представляющие собой сумму гармоник с частотами $n p(n=1,2,3, \ldots)$. Амплитуды этих гармоник убывают с возрастанием $n$, но неравномерно. На практике часто ограничиваются конечным числом гармоник. Если при каком-либо значении $n$ частота $n p$ близка к одной из собственных частот системы, то амплитуда гармоники В. к. с частотой $n p$ может быть достаточно большой, а при отсутствии сопротивления среды будет расти пропорционально времени. Напр., для диссипативной системы с одной степенью свободы, уравнение движения к-рой имеет вид \[ \ddot{x}+2 h \dot{x}+k^{2} x=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n} \sin \left(n p t+\delta_{n}\right) \] $\left(h, k^{2}, H_{n}, p, \delta_{n}\right.$ - постоянные коэффициенты), В. к. будут происходить по закону \[ x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{\sqrt{\left(k^{2}-n^{2} p^{2}\right)^{2}+4 h^{2} n^{2} p^{2}}} \sin \left(n p t+\delta_{n}-\gamma_{n}\right), \] где $\gamma_{n}=\operatorname{arctg}\left[2 h n p /\left(k^{2}-n^{2} p^{2}\right)\right]$. Если же $h=0$ (среда без сопротивления) и $s p=k$, то \[ x=\sum_{n=1}^{(s) / \infty} \frac{H_{n}}{k^{2}-n^{2} p^{2}} \sin \left(n p t+\delta_{n}\right)-\frac{H_{s}^{t}}{2 s p} \cos \left(n p t+\delta_{s}\right), \] где значок $(s)$ у суммы означает, что член при $n=s$ в сумму не входит. При непериодич. внешнем возмущении возникающие в системе В. к. будут также непериодическими. При воздействии внешней гармонич. силы на нелинейную диссипативную систему возможно возникновение В. к. не только с частотой внешней силы, но и с частотой, в целое число раз большей частоты внешней силы (субгармонические колебания). В автоколебательной системе при действии на нее внешней гармонич. силы возникает квазипериодический режим (режим биений), характеризующийся наличием периодич. колебания с частотой, близкой к частоте автоколебаний, и В. к. с частотой внешнего возмущения. При частоте внешнего возмущения, близкой к частоте автоколебаний, система совершает колебания только с частотой внешней силы. Это явление носит название принудительной синхронизации (захватывание).

незатухающее колебание в какой-либо материальной системе, возникающее под действием внешней переменной во времени силы. В линейной диссипативной системе при действии на нее внешней силы, изменяющейся по гармонич. закону, В. к. имеют частоту внешней силы. Амплитуда В. к. определяется параметрами внешнего воздействия (амплитудой, частотой) и коэффициентами сопротивления среды, в к-рой происходят колебания материальной системы. Если частота внешней силы близка к одной из частот собственных колебаний системы, то амплитуда В. к. может иметь достаточно большую величину, тем большую, чем меньше сопротивление среды. В случае отсутствия сопротивления среды при совпадении частоты внешней силы с одной из частот собственных колебаний системы амплитуда В. к. неограниченно возрастает пропорционально времени. Это явление носит название резонанса. При включении внешней силы в материальной системе возникают как В. к., так и собственные колебания. В диссипативной системе собственные колебания затухают, и в системе остаются только В. к. (установившийся режим). Режим перехода к установившимся колебаниям называется переходным режимом. Время переходного режима тем меньше, чем больше сопротивление среды. Если внешняя сила является периодич. функцией времени с периодом $T=2 \pi / p$, к-рая может быть представлена рядом Фурье, то в линейной системе возникают В. к., представляющие собой сумму гармоник с частотами $n p(n=1,2,3, \ldots)$. Амплитуды этих гармоник убывают с возрастанием $n$, но неравномерно. На практике часто ограничиваются конечным числом гармоник. Если при каком-либо значении $n$ частота $n p$ близка к одной из собственных частот системы, то амплитуда гармоники В. к. с частотой $n p$ может быть достаточно большой, а при отсутствии сопротивления среды будет расти пропорционально времени. Напр., для диссипативной системы с одной степенью свободы, уравнение движения к-рой имеет вид \[ \ddot{x}+2 h \dot{x}+k^{2} x=\sum_{n=1}^{\infty} H_{n} \sin \left(n p t+\delta_{n}\right) \] $\left(h, k^{2}, H_{n}, p, \delta_{n}\right.$ - постоянные коэффициенты), В. к. будут происходить по закону \[ x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n}}{\sqrt{\left(k^{2}-n^{2} p^{2}\right)^{2}+4 h^{2} n^{2} p^{2}}} \sin \left(n p t+\delta_{n}-\gamma_{n}\right), \] где $\gamma_{n}=\operatorname{arctg}\left[2 h n p /\left(k^{2}-n^{2} p^{2}\right)\right]$. Если же $h=0$ (среда без сопротивления) и $s p=k$, то \[ x=\sum_{n=1}^{(s) / \infty} \frac{H_{n}}{k^{2}-n^{2} p^{2}} \sin \left(n p t+\delta_{n}\right)-\frac{H_{s}^{t}}{2 s p} \cos \left(n p t+\delta_{s}\right), \] где значок $(s)$ у суммы означает, что член при $n=s$ в сумму не входит. При непериодич. внешнем возмущении возникающие в системе В. к. будут также непериодическими. При воздействии внешней гармонич. силы на нелинейную диссипативную систему возможно возникновение В. к. не только с частотой внешней силы, но и с частотой, в целое число раз большей частоты внешней силы (субгармонические колебания). В автоколебательной системе при действии на нее внешней гармонич. силы возникает квазипериодический режим (режим биений), характеризующийся наличием периодич. колебания с частотой, близкой к частоте автоколебаний, и В. к. с частотой внешнего возмущения. При частоте внешнего возмущения, близкой к частоте автоколебаний, система совершает колебания только с частотой внешней силы. Это явление носит название принудительной синхронизации (захватывание).