АЛГЕБРА

действительное (комплексное) векторное пространство (соответствующая алгебра также называется действительной или комплексной), на котором введена дополнительно операция умножения, обладающая следующими свойствами: 1) $x(y+z)=x y+x z,(y+z) x=y x+z x$ (дистрибутивность); 2) $\lambda(x y)=(\lambda x) y=x(\lambda y)$ где $x, y, z$ - элементы алгебры, а $\lambda$ - скаляр. Пусть $e_{1}, \ldots, e_{n}-$ базис векторного пространства алгебры A. Произведение базисных элементов может быть единственным образом записано в виде \[ e_{i} e_{j}=\sum c_{i j}^{k} e_{k} . \] Числа $c_{i j}^{k}$ называются структурными константами алгебры $A$. В силу свойств 1) и 2) набор структурных констант полностью определяет алгебру. Среди действительных алгебр ранее других были рассмотрены два важнейших примера так наз. «гиперкомплексных систем» - алгебра кватернионов и алгебра Кэли. Алгебра кватернионов $\mathbb{H}-$ это 4-мерная А. с базисом $1, i, j, k$ и с умножением, определяемым соотношениями: \[ i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1, \quad i j=-j i=k, \quad k i=-i k=j, \quad j k=-k j=i . \] Для каждого элемента $q=a+b i+c j+d k$ алгебры $\mathbb{H}$, называемого кватернионом, определен сопряженный кватернион $\bar{q}=a-b i-c j-d k$. Модулем кватерниона $q$ называется число \[ |q|=(q \bar{q})^{1 / 2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)^{1 / 2} . \] Для всякого ненулевого кватерниона $q$ существует обратный кватернион $q^{-1}$ (то есть $q^{-1} q=q q^{-1}=1$), причем $q^{-1}=\bar{q} /|q|$. Алгебра Кэли - это 8-мерная А., любой элемент к-рой записывается в виде $p_{1}+p_{2} l$, где $p_{1}, p_{2}-$ кватернионы, а умножение определяется равенством \[ \left(p_{1}+p_{2} l\right)\left(q_{1}+q_{2} l\right)=\left(p_{1} q_{1}-\bar{q}_{2} p_{2}\right)+\left(q_{2} p_{1}-p_{2} \bar{q}_{1}\right) l . \] Сопряженный элемент, модуль и обратный элемент определены так же, как в А. кватернионов. В отличие от А. кватернионов, алгебра Кэли не ассоциативна (то есть не выполнено тождество $(x y) z=x(y z))$. Впрочем $(x y) z=x(y z))$, если: а) хотя бы два из чисел $x, y, z$ равны; б) хотя бы два из них сопряжены; в) хотя бы два из них взаимообратны. Почти все известные сколько-нибудь интересные А. относятся к одному из следующих типов. Ассоциативные алгебры. Любая конечномерная ассоциативная А. является подалгеброй А. всех матриц. Если в А. выполнено тождество $x y=y x$, то она называется коммутативной. Многочисленные примеры коммутативных ассоциативных А. дают А. функций на нек-ром пространстве (с обычной операцией умножения). Полезна точка зрения (к-рую не следует понимать совсем буквально), состоящая в том, что любая коммутативная ассоциативная А. может быть реализована как А. функций. Алгебры Кэли (см. выше). Это по существу единственный в своем роде объект; они тесно связаны с различными геометриями малой размерности и с особыми группами (см. Простая группа). Наконец, еще три важных типа - алгебры Ли, супералгебры Ли и йордановы алгебры.

действительное (комплексное) векторное пространство (соответствующая алгебра также называется действительной или комплексной), на котором введена дополнительно операция умножения, обладающая следующими свойствами: 1) $x(y+z)=x y+x z,(y+z) x=y x+z x$ (дистрибутивность); 2) $\lambda(x y)=(\lambda x) y=x(\lambda y)$ где $x, y, z$ - элементы алгебры, а $\lambda$ - скаляр. Пусть $e_{1}, \ldots, e_{n}-$ базис векторного пространства алгебры A. Произведение базисных элементов может быть единственным образом записано в виде \[ e_{i} e_{j}=\sum c_{i j}^{k} e_{k} . \] Числа $c_{i j}^{k}$ называются структурными константами алгебры $A$. В силу свойств 1) и 2) набор структурных констант полностью определяет алгебру. Среди действительных алгебр ранее других были рассмотрены два важнейших примера так наз. «гиперкомплексных систем» - алгебра кватернионов и алгебра Кэли. Алгебра кватернионов $\mathbb{H}-$ это 4-мерная А. с базисом $1, i, j, k$ и с умножением, определяемым соотношениями: \[ i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1, \quad i j=-j i=k, \quad k i=-i k=j, \quad j k=-k j=i . \] Для каждого элемента $q=a+b i+c j+d k$ алгебры $\mathbb{H}$, называемого кватернионом, определен сопряженный кватернион $\bar{q}=a-b i-c j-d k$. Модулем кватерниона $q$ называется число \[ |q|=(q \bar{q})^{1 / 2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)^{1 / 2} . \] Для всякого ненулевого кватерниона $q$ существует обратный кватернион $q^{-1}$ (то есть $q^{-1} q=q q^{-1}=1$), причем $q^{-1}=\bar{q} /|q|$. Алгебра Кэли - это 8-мерная А., любой элемент к-рой записывается в виде $p_{1}+p_{2} l$, где $p_{1}, p_{2}-$ кватернионы, а умножение определяется равенством \[ \left(p_{1}+p_{2} l\right)\left(q_{1}+q_{2} l\right)=\left(p_{1} q_{1}-\bar{q}_{2} p_{2}\right)+\left(q_{2} p_{1}-p_{2} \bar{q}_{1}\right) l . \] Сопряженный элемент, модуль и обратный элемент определены так же, как в А. кватернионов. В отличие от А. кватернионов, алгебра Кэли не ассоциативна (то есть не выполнено тождество $(x y) z=x(y z))$. Впрочем $(x y) z=x(y z))$, если: а) хотя бы два из чисел $x, y, z$ равны; б) хотя бы два из них сопряжены; в) хотя бы два из них взаимообратны. Почти все известные сколько-нибудь интересные А. относятся к одному из следующих типов. Ассоциативные алгебры. Любая конечномерная ассоциативная А. является подалгеброй А. всех матриц. Если в А. выполнено тождество $x y=y x$, то она называется коммутативной. Многочисленные примеры коммутативных ассоциативных А. дают А. функций на нек-ром пространстве (с обычной операцией умножения). Полезна точка зрения (к-рую не следует понимать совсем буквально), состоящая в том, что любая коммутативная ассоциативная А. может быть реализована как А. функций. Алгебры Кэли (см. выше). Это по существу единственный в своем роде объект; они тесно связаны с различными геометриями малой размерности и с особыми группами (см. Простая группа). Наконец, еще три важных типа - алгебры Ли, супералгебры Ли и йордановы алгебры.