ВЫЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ $f(z)$ ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В КОНЕЧНОЙ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ $a$ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА

коэффициент $c_{-1}$ при $(z-a)^{-1}$ в разложении Лорана функции $f(z)$ (см. Лорана ряд) в окрестности точки $a$, или равный ему интеграл \[ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} f(z) d z \] где $\gamma$ - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке $a$. В. обозначается res $[f(z)]$ (либо Выч. $[f(z)]$). Теория В. опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть $f(z)-$ однозначная аналитич. функция всюду в односвязной области $G$, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от $f(z)$ по любой простой замкнутой спрямляемой кривой $\gamma$, лежащей в области $G$ и не проходящей через особые точки функции $f(z)$, вычисляется по формуле \[ \int_{\gamma} f(z) d z=2 \pi i \sum_{k=1}^{N} \underset{a_{k}}{\operatorname{res}[f(z)]} \] где $a_{k}, k=1, \ldots, N,-$ особые точки функции $f(z)$, попавшие внутрь $\gamma$. В. функции в бесконечно удаленной точке $a=\infty$ для функции $f(z)$, однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой \[ \underset{\infty}{\operatorname{res}}[f(z)]=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma^{-}} f(z) d z=-c_{-1}, \] где $\gamma^{-}$- окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а $c_{-1}-$ коэффициент при $z^{-1}$ в разложении Лорана функции $f(z)$ в окрестности этой точки. Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если $f(z)$ - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функций $f(z)$, включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю. Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть $a \neq \infty-$ полюс порядка $m$ функции $f(z)$, тогда \[ \operatorname{res}_{a}[f(z)]=\frac{1}{(m-1) !} \lim _{z \rightarrow a}\left\{\frac{d^{m-1}}{d z^{m-1}}\left[(z-a)^{m} f(z)\right]\right\} . \] При $m=1$ (простой полюс) эта формула принимает вид \[ \operatorname{res}_{a}[f(z)]=\lim _{z \rightarrow a}[(z-a) f(z)] \] если $f(z)=\varphi(z) / \psi(z)$, где $\varphi(z)$ и $\psi(z)$ регулярны в окрестности точки $a$, причем для $\psi(z)$ точка $a$ есть простой нуль, то \[ \underset{a}{\operatorname{res}}\left[\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\right]=\frac{\varphi(a)}{\psi^{\prime}(a)} \] В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций. В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. продолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих других вопросах анализа и его приложений. На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитич. дифференциалов. Теория В. аналитич. функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши-Пуанкаре. Лит.: [1] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, кол. 814-817; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [3] Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ, М., 1969. А. П. Южаков.

коэффициент $c_{-1}$ при $(z-a)^{-1}$ в разложении Лорана функции $f(z)$ (см. Лорана ряд) в окрестности точки $a$, или равный ему интеграл \[ \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} f(z) d z \] где $\gamma$ - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке $a$. В. обозначается res $[f(z)]$ (либо Выч. $[f(z)]$). Теория В. опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть $f(z)-$ однозначная аналитич. функция всюду в односвязной области $G$, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от $f(z)$ по любой простой замкнутой спрямляемой кривой $\gamma$, лежащей в области $G$ и не проходящей через особые точки функции $f(z)$, вычисляется по формуле \[ \int_{\gamma} f(z) d z=2 \pi i \sum_{k=1}^{N} \underset{a_{k}}{\operatorname{res}[f(z)]} \] где $a_{k}, k=1, \ldots, N,-$ особые точки функции $f(z)$, попавшие внутрь $\gamma$. В. функции в бесконечно удаленной точке $a=\infty$ для функции $f(z)$, однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой \[ \underset{\infty}{\operatorname{res}}[f(z)]=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma^{-}} f(z) d z=-c_{-1}, \] где $\gamma^{-}$- окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а $c_{-1}-$ коэффициент при $z^{-1}$ в разложении Лорана функции $f(z)$ в окрестности этой точки. Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если $f(z)$ - однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функций $f(z)$, включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю. Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть $a \neq \infty-$ полюс порядка $m$ функции $f(z)$, тогда \[ \operatorname{res}_{a}[f(z)]=\frac{1}{(m-1) !} \lim _{z \rightarrow a}\left\{\frac{d^{m-1}}{d z^{m-1}}\left[(z-a)^{m} f(z)\right]\right\} . \] При $m=1$ (простой полюс) эта формула принимает вид \[ \operatorname{res}_{a}[f(z)]=\lim _{z \rightarrow a}[(z-a) f(z)] \] если $f(z)=\varphi(z) / \psi(z)$, где $\varphi(z)$ и $\psi(z)$ регулярны в окрестности точки $a$, причем для $\psi(z)$ точка $a$ есть простой нуль, то \[ \underset{a}{\operatorname{res}}\left[\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\right]=\frac{\varphi(a)}{\psi^{\prime}(a)} \] В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций. В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. продолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих других вопросах анализа и его приложений. На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитич. дифференциалов. Теория В. аналитич. функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши-Пуанкаре. Лит.: [1] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, кол. 814-817; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [3] Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ, М., 1969. А. П. Южаков.