ГАМИЛЬТОНА УРАВНЕНИЯ, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ

дифференциальные уравнения движения голономной механической системы в канонических переменных, которыми являются $s$ обобщенных координат $q_{i}$ и $s$ обобщенных импульсов $p_{i}$, где $s-$ число степеней свободы системы. Выведены У. Гамильтоном (W. Hamilton) в 1834. Для составления Г. у. надо в качестве характеристич. функции системы знать Гамильтона функцию $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, где $t$ - время. Тогда, если все действующие на систему силы потенциальны, Г.у. имеют вид \[ \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} . \] Если наряду с потенциальными на систему действуют непотенциальные силы $\boldsymbol{F}$, то к правым частям 2-й группы уравнений $\left({ }^{*}\right)$ надо прибавить соответствующие обобщенные силы $Q_{i}$. Уравнения $\left({ }^{*}\right)$ представляют собой систему $2 s$ обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, интегрируя к-рые можно найти все $q_{i}$ и $p_{i}$ как функции времени $t$ и $2 s$ постоянных интегрирования, определяемых по начальным данным. Решение системы уравнений $\left({ }^{*}\right)$ можно также свести к отысканию полного интеграла соответствующего ей уравнения с частными производными (см. Гамильтона-Якоби уравнение). Если одна из координат $q_{i}$, напр. $q_{1}$, является циклич. координатой, то есть явно не входит в выражение функции $H$, то $\partial H / \partial q_{1}=0$ и одно из уравнений $\left({ }^{*}\right)$ дает сразу интеграл $p_{1}=\alpha_{1}$, где $\alpha_{1}-$ постоянная. Особый интерес представляет случай, когда все координаты циклические, а функция $H=H\left(p_{i}\right)$ явно не зависит от времени (силовое поле и наложенные связи стационарны). Тогда все $p_{i}=\alpha_{i}$, то есть постоянны; следовательно, функции $H\left(p_{i}\right)$ и $\partial H / \partial p_{i}$ тоже постоянны, и 1-я группа уравнений $\left(^{*}\right)$ дает $d q_{i} / d t=\beta_{i}$, откуда $q_{i}=\beta_{i} t+C_{i}$, где $\beta_{i}, C_{i}$ - новые постоянные. Уравнения в этом случае интегрируются элементарно и все координаты являются линейными функциями времени. Отсюда следует, что задачу интегрирования Г.у. можно свести к задаче отыскания для системы циклич. координат. Это, в принципе, возможно, так как Г.у. обладают тем важным свойством, что они допускают переход с помощью так наз. канонич. преобразований от переменных $q_{i}, p_{i}$ к новым переменным $Q_{i}\left(q_{i}, p_{i}, t\right), P_{i}\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, к-рые также являются каноническими и удовлетворяют уравнениям $\left({ }^{*}\right)$ с соответствующей функцией $H\left(Q_{i}, P_{i}, t\right)$. Равноправность в Г.у. координат и импульсов как независимых переменных, а также инвариантность этих уравнений по отношению к канонич. преобразованиям открывают большие возможности для обобщений. Поэтому Г. у. имеют важные приложения не только в механике, но и во многих других областях физики, напр. в статистич. физике, кванто$\begin{array}{ll}\text { вой механике, электродинамике и др. } & \text { C. М. Тарг. }\end{array}$

дифференциальные уравнения движения голономной механической системы в канонических переменных, которыми являются $s$ обобщенных координат $q_{i}$ и $s$ обобщенных импульсов $p_{i}$, где $s-$ число степеней свободы системы. Выведены У. Гамильтоном (W. Hamilton) в 1834. Для составления Г. у. надо в качестве характеристич. функции системы знать Гамильтона функцию $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, где $t$ - время. Тогда, если все действующие на систему силы потенциальны, Г.у. имеют вид \[ \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} . \] Если наряду с потенциальными на систему действуют непотенциальные силы $\boldsymbol{F}$, то к правым частям 2-й группы уравнений $\left({ }^{*}\right)$ надо прибавить соответствующие обобщенные силы $Q_{i}$. Уравнения $\left({ }^{*}\right)$ представляют собой систему $2 s$ обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, интегрируя к-рые можно найти все $q_{i}$ и $p_{i}$ как функции времени $t$ и $2 s$ постоянных интегрирования, определяемых по начальным данным. Решение системы уравнений $\left({ }^{*}\right)$ можно также свести к отысканию полного интеграла соответствующего ей уравнения с частными производными (см. Гамильтона-Якоби уравнение). Если одна из координат $q_{i}$, напр. $q_{1}$, является циклич. координатой, то есть явно не входит в выражение функции $H$, то $\partial H / \partial q_{1}=0$ и одно из уравнений $\left({ }^{*}\right)$ дает сразу интеграл $p_{1}=\alpha_{1}$, где $\alpha_{1}-$ постоянная. Особый интерес представляет случай, когда все координаты циклические, а функция $H=H\left(p_{i}\right)$ явно не зависит от времени (силовое поле и наложенные связи стационарны). Тогда все $p_{i}=\alpha_{i}$, то есть постоянны; следовательно, функции $H\left(p_{i}\right)$ и $\partial H / \partial p_{i}$ тоже постоянны, и 1-я группа уравнений $\left(^{*}\right)$ дает $d q_{i} / d t=\beta_{i}$, откуда $q_{i}=\beta_{i} t+C_{i}$, где $\beta_{i}, C_{i}$ - новые постоянные. Уравнения в этом случае интегрируются элементарно и все координаты являются линейными функциями времени. Отсюда следует, что задачу интегрирования Г.у. можно свести к задаче отыскания для системы циклич. координат. Это, в принципе, возможно, так как Г.у. обладают тем важным свойством, что они допускают переход с помощью так наз. канонич. преобразований от переменных $q_{i}, p_{i}$ к новым переменным $Q_{i}\left(q_{i}, p_{i}, t\right), P_{i}\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, к-рые также являются каноническими и удовлетворяют уравнениям $\left({ }^{*}\right)$ с соответствующей функцией $H\left(Q_{i}, P_{i}, t\right)$. Равноправность в Г.у. координат и импульсов как независимых переменных, а также инвариантность этих уравнений по отношению к канонич. преобразованиям открывают большие возможности для обобщений. Поэтому Г. у. имеют важные приложения не только в механике, но и во многих других областях физики, напр. в статистич. физике, кванто$\begin{array}{ll}\text { вой механике, электродинамике и др. } & \text { C. М. Тарг. }\end{array}$