ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ

характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщенные координаты $q_{i}$ и обобщенные импульсы $p_{i}$. Для системы со связями, явно не зависящими от времени $t$, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, Г.ф. \[ H\left(q_{i}, p_{i}\right)=T+U, \] где $U$ - потенциальная, а $T-$ кинетич. энергия системы, в выражении к-рой произведена замена всех обобщенных скоростей $\dot{q}_{i}$ на $p_{i}$ с помощью равенств \[ p_{i}=\partial T / \partial \dot{q}_{i} . \] Таким образом, Г. ф. равна в этом случае полной механич. энергии системы, выраженной через $q_{i}$ и $p_{i}$. В общем случае Г. ф. $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$ может быть определена через Лагранжа функцию $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$ равенством \[ H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)=\left[\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)\right]_{\dot{q}_{i} \rightarrow p_{i}}, \] в к-ром все $\dot{q}_{i}$ должны быть выражены также через $p_{i}$. Г. ф., как и функция Лагранжа, полностью характеризует ту систему, для к-рой она определена, так как, зная $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, можно составить дифференциальные уравнения движения системы или в виде $2 s$ обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, где $s-$ число степеней свободы, или в виде одного уравнения с частными производными тоже 1-го порядка (см. Гамильтона-Якоби уравнение). Г. ф. введена У. Гамильтоном (W. Hamilton). Наряду с термином «Г. ф.» употребляют иногда термин «главная функция Гамильтона», именуя так полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби, равный действию по Гамильтону. В квантовой механике используется квантовомеханич. оператор - гамильтониан, или оператор Гамильтона, соответствующий Г. ф. в классич. механике. С. М. Тарг.

характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщенные координаты $q_{i}$ и обобщенные импульсы $p_{i}$. Для системы со связями, явно не зависящими от времени $t$, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, Г.ф. \[ H\left(q_{i}, p_{i}\right)=T+U, \] где $U$ - потенциальная, а $T-$ кинетич. энергия системы, в выражении к-рой произведена замена всех обобщенных скоростей $\dot{q}_{i}$ на $p_{i}$ с помощью равенств \[ p_{i}=\partial T / \partial \dot{q}_{i} . \] Таким образом, Г. ф. равна в этом случае полной механич. энергии системы, выраженной через $q_{i}$ и $p_{i}$. В общем случае Г. ф. $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$ может быть определена через Лагранжа функцию $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$ равенством \[ H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)=\left[\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)\right]_{\dot{q}_{i} \rightarrow p_{i}}, \] в к-ром все $\dot{q}_{i}$ должны быть выражены также через $p_{i}$. Г. ф., как и функция Лагранжа, полностью характеризует ту систему, для к-рой она определена, так как, зная $H\left(q_{i}, p_{i}, t\right)$, можно составить дифференциальные уравнения движения системы или в виде $2 s$ обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, где $s-$ число степеней свободы, или в виде одного уравнения с частными производными тоже 1-го порядка (см. Гамильтона-Якоби уравнение). Г. ф. введена У. Гамильтоном (W. Hamilton). Наряду с термином «Г. ф.» употребляют иногда термин «главная функция Гамильтона», именуя так полный интеграл уравнения Гамильтона - Якоби, равный действию по Гамильтону. В квантовой механике используется квантовомеханич. оператор - гамильтониан, или оператор Гамильтона, соответствующий Г. ф. в классич. механике. С. М. Тарг.