ГАМИЛЬТОНИАН, ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА

квантовомеханический оператор, аналогом которого в классической механике является Гамильтона функция. Физич. смысл Г.- оператор энергии системы в отсутствие внешних полей. В квантовой механике $E$ - энергия стационарного состояния системы является решением уравнения: $H \psi=E \psi$, где $\boldsymbol{H}$ - гамильтониан, $|\psi\rangle-$ вектор состояния (волновая функция). Вид оператора $H$ определяется правилами перехода от классич. теории к квантовой. Так, в методе канонич. квантования Г. имеет тот же функциональный вид, что и функция Гамильтона, но выражен через операторы: $\hat{q}-$ координат и $\hat{\boldsymbol{p}}-$ импульса. В координатном представлении $\hat{q}=q$, $\hat{p}=-i \hbar \nabla$. Ниже приведены примеры простейших Г.: $\Gamma$. частицы массы $m$, движущейся в потенциальном поле $V(\boldsymbol{r})$, согласно сформулированному правилу, есть \[ H=\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^{2}}{2 m}+V(\boldsymbol{r})=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta+V(\boldsymbol{r}) . \] В случае одномерного гармонич. осциллятора \[ H=\frac{1}{2 m}\left(\hat{\boldsymbol{p}}^{2}+m^{2} \omega^{2} \hat{q}^{2}\right), \] $\omega$ - круговая частота. В случае свободного скалярного поля $\varphi(x)$, удовлетворяющего Клейна-Гордона уравнению, Г. имеет вид \[ H=\frac{1}{2} \int\left\{\left[\frac{\partial}{\partial x_{0}} \varphi(x)\right]^{2}+[\nabla \varphi(x)]^{2}+m^{2} \varphi^{2}(x)\right\} d^{3} x . \] В Фока пространстве этот Г. выражается через операторы рождения $a^{+}(p)$ и уничтожения $a^{-}(p)$ и представляет собой (с точностью до несущественной константы) сумму энергий невзаимодействующих частиц: \[ H=\sum_{i} \omega_{i} a^{+}\left(p_{i}\right) a^{-}\left(p_{i}\right) ; \quad \omega_{i}=\left(m_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)^{1 / 2} . \] Будучи генератором временных сдвигов, оператор $H$ определяет эволюцию. В Шредингера представлении \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle \] Если $H$ не зависит от времени, то \[ |\psi(t)\rangle=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} H t\right] \] Изменение среднего значения нек-рой наблюдаемой $\langle A\rangle$, то есть скалярного произведения $\langle\psi|A| \psi\rangle$, следующим образом связано с Г.: \[ \frac{d}{d t}\langle A\rangle=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle+\frac{i}{\hbar}\langle[H, A]\rangle . \] Таким образом, если наблюдаемая не зависит от времени явно, а соответствующий ей оператор коммутирует с Г., то она является интегралом движения. В Гейзенберга представлении временная зависимость произвольного оператора $A$ дается выражением \[ \frac{d A}{d t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[H, A] \] В классич. пределе равенство $(*)$ определяет известный закон изменения физич. величин: коммутатор $[H, A]$ переходит в скобку Пуассона $i \hbar\{H, A\}$ : \[ \{H, A\}=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial A}{\partial p_{i}}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial A}{\partial q_{i}} . \] Согласно соотношению (*), Г. сохраняется во времени, если не зависит от него явно. Для сохранения же произвольного, но не зависящего явно от времени оператора необходимо, чтобы он коммутировал с $H$. Если $A-$ оператор нек-рого преобразования, то равенство $[A, H]=0$ означает инвариантность системы относительно этого преобразования. Во взаимодействия представлении временная зависимость операторов определяется свободным $\Gamma$. $H_{0}$, а векторов состояния - Г. взаимодействия $H_{I}, H=H_{0}+H_{I}$ : \[ \frac{d A}{d t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}\left[H_{0}, A\right] ; \quad i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H_{I}|\psi(t)\rangle . \] По своему физич. смыслу Г.- самосопряженный оператор. Однако корректное математич. определение $H$ для взаимодействующего поля не тривиально. Эта проблема играет важную роль в конструктивной теории поля.

квантовомеханический оператор, аналогом которого в классической механике является Гамильтона функция. Физич. смысл Г.- оператор энергии системы в отсутствие внешних полей. В квантовой механике $E$ - энергия стационарного состояния системы является решением уравнения: $H \psi=E \psi$, где $\boldsymbol{H}$ - гамильтониан, $|\psi\rangle-$ вектор состояния (волновая функция). Вид оператора $H$ определяется правилами перехода от классич. теории к квантовой. Так, в методе канонич. квантования Г. имеет тот же функциональный вид, что и функция Гамильтона, но выражен через операторы: $\hat{q}-$ координат и $\hat{\boldsymbol{p}}-$ импульса. В координатном представлении $\hat{q}=q$, $\hat{p}=-i \hbar \nabla$. Ниже приведены примеры простейших Г.: $\Gamma$. частицы массы $m$, движущейся в потенциальном поле $V(\boldsymbol{r})$, согласно сформулированному правилу, есть \[ H=\frac{\hat{\boldsymbol{p}}^{2}}{2 m}+V(\boldsymbol{r})=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta+V(\boldsymbol{r}) . \] В случае одномерного гармонич. осциллятора \[ H=\frac{1}{2 m}\left(\hat{\boldsymbol{p}}^{2}+m^{2} \omega^{2} \hat{q}^{2}\right), \] $\omega$ - круговая частота. В случае свободного скалярного поля $\varphi(x)$, удовлетворяющего Клейна-Гордона уравнению, Г. имеет вид \[ H=\frac{1}{2} \int\left\{\left[\frac{\partial}{\partial x_{0}} \varphi(x)\right]^{2}+[\nabla \varphi(x)]^{2}+m^{2} \varphi^{2}(x)\right\} d^{3} x . \] В Фока пространстве этот Г. выражается через операторы рождения $a^{+}(p)$ и уничтожения $a^{-}(p)$ и представляет собой (с точностью до несущественной константы) сумму энергий невзаимодействующих частиц: \[ H=\sum_{i} \omega_{i} a^{+}\left(p_{i}\right) a^{-}\left(p_{i}\right) ; \quad \omega_{i}=\left(m_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)^{1 / 2} . \] Будучи генератором временных сдвигов, оператор $H$ определяет эволюцию. В Шредингера представлении \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle \] Если $H$ не зависит от времени, то \[ |\psi(t)\rangle=\exp \left[-\frac{i}{\hbar} H t\right] \] Изменение среднего значения нек-рой наблюдаемой $\langle A\rangle$, то есть скалярного произведения $\langle\psi|A| \psi\rangle$, следующим образом связано с Г.: \[ \frac{d}{d t}\langle A\rangle=\left\langle\frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle+\frac{i}{\hbar}\langle[H, A]\rangle . \] Таким образом, если наблюдаемая не зависит от времени явно, а соответствующий ей оператор коммутирует с Г., то она является интегралом движения. В Гейзенберга представлении временная зависимость произвольного оператора $A$ дается выражением \[ \frac{d A}{d t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[H, A] \] В классич. пределе равенство $(*)$ определяет известный закон изменения физич. величин: коммутатор $[H, A]$ переходит в скобку Пуассона $i \hbar\{H, A\}$ : \[ \{H, A\}=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial A}{\partial p_{i}}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial A}{\partial q_{i}} . \] Согласно соотношению (*), Г. сохраняется во времени, если не зависит от него явно. Для сохранения же произвольного, но не зависящего явно от времени оператора необходимо, чтобы он коммутировал с $H$. Если $A-$ оператор нек-рого преобразования, то равенство $[A, H]=0$ означает инвариантность системы относительно этого преобразования. Во взаимодействия представлении временная зависимость операторов определяется свободным $\Gamma$. $H_{0}$, а векторов состояния - Г. взаимодействия $H_{I}, H=H_{0}+H_{I}$ : \[ \frac{d A}{d t}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}\left[H_{0}, A\right] ; \quad i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=H_{I}|\psi(t)\rangle . \] По своему физич. смыслу Г.- самосопряженный оператор. Однако корректное математич. определение $H$ для взаимодействующего поля не тривиально. Эта проблема играет важную роль в конструктивной теории поля.