ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

формализм, в котором уравнения общей теории относительности интерпретируются как гамильтонова динамическая система в пространстве начальных данных. Г.Ф. позволяет корректно определить энергию, импульс и моменты асимптотически плоского гравитационного поля и является основным подходом при квантовании гравитации. В основе Г. ф. общей теории относительности лежит описание фазового пространства начальных данных на 3-мерной пространственноподобной гиперповерхности $M$. Набор начальных данных состоит из римановой метрики $g_{i j}$ на $M$ и симметрич. тензора $\pi_{i j}$ (второй фундаментальной формы погружения $M$ в объемлющее 4-мерное пространство), удовлетворяющих связям \[ \begin{gathered} c_{0}=R+\left(\pi_{j}\right)^{2}+\pi^{i j} \pi_{i j}-T_{00}=0, \\ c_{i}=\nabla_{i} \pi_{j}{ }^{j}-\nabla_{j} \pi_{i}{ }^{j}-\frac{1}{2} T_{0 i}=0, \end{gathered} \] где $R-$ скалярная кривизна метрики $g_{i j}$, а $T_{\alpha \beta}-$ тензор энергии-импульса материи. Переменные $g_{i j}$ и $\pi^{i j}$ канонически сопряжены. Последовательное построение Г. ф. общей теории относительности возможно лишь в асимптотически плоском пространстве, когда окрестность бесконечности в $M$ отождествляется с внешностью шара в $\mathbb{R}^{3}$ и выполнены асимптотич. условия \[ g_{i j}=\delta_{i j}+O\left(r^{-1}\right), \partial_{k} g_{i j}=O\left(r^{-2}\right), \pi_{i j}=O\left(r^{-2}\right) . \] В этом случае в фазовом пространстве определено гамильтоново действие группы Пуанкаре и соответствующие гамильтонианы (с учетом связей $c_{0}=0, c_{i}=0$ ) выражаются через асимптотику полей $g_{i j}$, $\pi_{i j}$. В частности, гамильтониан сдвига по времени (энергия) имеет вид: \[ E=\lim _{r \rightarrow \infty} \int_{S_{r}}\left(\partial_{j} g_{i j}-\partial_{i} g_{j j}\right) d s_{i} \] где $S_{r}$ - сфера радиуса $r$ в $M$, а генераторы сдвигов по пространственным направлениям (компоненты полного импульса) равны: \[ P_{k}=\lim _{r \rightarrow \infty} \int_{S_{r}} 2\left(\pi_{i k}-\delta_{i k} \pi_{i j}\right) d s_{i} \] Аналогично определяются евклидовы и лоренцевы моменты (см. [1]). Наиболее естественный вывод Г. ф. общей теории относительности состоит в применении преобразования Лежандра к модифицированному лагранжиану Гильберта (см. [2]): \[ L=\sqrt{-g} R+\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g} g^{\mu v} \Gamma_{v \sigma}^{\sigma}-\sqrt{-g} g^{v \sigma} \Gamma_{v \sigma}^{\mu}\right) . \] Лит.: [1] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, М., 1977; [2] Фаддеев Л. Д., «Успехи физич. наук», 1982, т. 136, с. 435-57; [3] Фаддеев Л.Д., Попов В.Н., «Успехи физ. наук», 1973, т. 111, с. 427-50; [4] Dirac P. A. M., "Proc. Roy. Soc.", 1958, v. A246, p. 333-43; [5] Arnowitt R., Deser S., Misner C., «Phys. Rev.", 1960, v. 117, p. 1595-602; [6] Regge T., Teitelboim C., "Ann. Phys.», 1974, v. 88, p. 286-318. А. Г. Рейман.

формализм, в котором уравнения общей теории относительности интерпретируются как гамильтонова динамическая система в пространстве начальных данных. Г.Ф. позволяет корректно определить энергию, импульс и моменты асимптотически плоского гравитационного поля и является основным подходом при квантовании гравитации. В основе Г. ф. общей теории относительности лежит описание фазового пространства начальных данных на 3-мерной пространственноподобной гиперповерхности $M$. Набор начальных данных состоит из римановой метрики $g_{i j}$ на $M$ и симметрич. тензора $\pi_{i j}$ (второй фундаментальной формы погружения $M$ в объемлющее 4-мерное пространство), удовлетворяющих связям \[ \begin{gathered} c_{0}=R+\left(\pi_{j}\right)^{2}+\pi^{i j} \pi_{i j}-T_{00}=0, \\ c_{i}=\nabla_{i} \pi_{j}{ }^{j}-\nabla_{j} \pi_{i}{ }^{j}-\frac{1}{2} T_{0 i}=0, \end{gathered} \] где $R-$ скалярная кривизна метрики $g_{i j}$, а $T_{\alpha \beta}-$ тензор энергии-импульса материи. Переменные $g_{i j}$ и $\pi^{i j}$ канонически сопряжены. Последовательное построение Г. ф. общей теории относительности возможно лишь в асимптотически плоском пространстве, когда окрестность бесконечности в $M$ отождествляется с внешностью шара в $\mathbb{R}^{3}$ и выполнены асимптотич. условия \[ g_{i j}=\delta_{i j}+O\left(r^{-1}\right), \partial_{k} g_{i j}=O\left(r^{-2}\right), \pi_{i j}=O\left(r^{-2}\right) . \] В этом случае в фазовом пространстве определено гамильтоново действие группы Пуанкаре и соответствующие гамильтонианы (с учетом связей $c_{0}=0, c_{i}=0$ ) выражаются через асимптотику полей $g_{i j}$, $\pi_{i j}$. В частности, гамильтониан сдвига по времени (энергия) имеет вид: \[ E=\lim _{r \rightarrow \infty} \int_{S_{r}}\left(\partial_{j} g_{i j}-\partial_{i} g_{j j}\right) d s_{i} \] где $S_{r}$ - сфера радиуса $r$ в $M$, а генераторы сдвигов по пространственным направлениям (компоненты полного импульса) равны: \[ P_{k}=\lim _{r \rightarrow \infty} \int_{S_{r}} 2\left(\pi_{i k}-\delta_{i k} \pi_{i j}\right) d s_{i} \] Аналогично определяются евклидовы и лоренцевы моменты (см. [1]). Наиболее естественный вывод Г. ф. общей теории относительности состоит в применении преобразования Лежандра к модифицированному лагранжиану Гильберта (см. [2]): \[ L=\sqrt{-g} R+\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g} g^{\mu v} \Gamma_{v \sigma}^{\sigma}-\sqrt{-g} g^{v \sigma} \Gamma_{v \sigma}^{\mu}\right) . \] Лит.: [1] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, пер. с англ., т. 1-3, М., 1977; [2] Фаддеев Л. Д., «Успехи физич. наук», 1982, т. 136, с. 435-57; [3] Фаддеев Л.Д., Попов В.Н., «Успехи физ. наук», 1973, т. 111, с. 427-50; [4] Dirac P. A. M., "Proc. Roy. Soc.", 1958, v. A246, p. 333-43; [5] Arnowitt R., Deser S., Misner C., «Phys. Rev.", 1960, v. 117, p. 1595-602; [6] Regge T., Teitelboim C., "Ann. Phys.», 1974, v. 88, p. 286-318. А. Г. Рейман.