ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

действительная функция $u(x)$ действительных переменных $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), n \geqslant 2$, заданная в некоторой области $D$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$, имеющая в $D$ непрерывные частные производные первого и второго порядков и являющаяся решением уравнения Лапласа: \[ \Delta u \equiv \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\ldots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0 . \] На комплексные функции $w(x)=u(x)+i v(x)$ это определение распространяется в том случае, если их действительная и мнимая части $u(x)=\operatorname{Re} w(x), v(x)=\operatorname{Im} w(x)$ являются Г.ф. В случае неограниченной области $D$ с компактной границей $S=\partial D$ обычно целесообразно доопределить $Г . \phi . ~ u(x)$ так, чтобы она была регулярной в бесконечно удаленной точке (в бесконечности) $\infty$. При $n \geqslant 3$ это означает, что существует предел \[ \lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=u(\infty)=0, \quad|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}} . \] При $n=2$ должно выполняться условие \[ u(x)=O(1),|x| \rightarrow \infty, \] из к-рого вытекает существование конечного предела \[ \lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=u(\infty) \] Основная в теории Г.ф. формула Грина выражает значения Г.ф. $u(x)$ внутри области $D$ через ее значения на границе $S=\partial D$ и через значения ее производной по направлению $\boldsymbol{e}$ внешней нормали к $S$ : $\int_{S}\left[h_{n}(x-y) \frac{\partial u(y)}{\partial e}-u(y) \frac{\partial h_{n}(x-y)}{\partial e_{y}}\right] d \sigma(y)=\left\{\begin{array}{cc}u(x), & x \in \underline{D}, \\ 0, & x \notin \bar{D} .\end{array}\right.$ Здесь \[ h_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi} \ln |x|, \quad h_{n}(x)=\frac{1}{(n-2) \sigma_{n}} \frac{1}{|x|^{n-2}}, \quad n>2, \] - главные фундаментальные решения уравнения Лапласа, \[ \sigma_{n}(R)=n \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} R^{n-1}, \quad \sigma_{n}(1)=\sigma_{n}, \quad n \geqslant 2, \] - площадь сферы радиуса $R$ в $\mathbb{R}^{n}$. Формула Грина справедлива, напр., при условии, что $u(x)$ и ее частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области $\bar{D}=D \cup S$, граница $S$ к-рой есть кусочно гладкая замкнутая поверхность (при $n \geqslant 3$ ) или кривая (при $n=2$ ). Формула Грина дает представление произвольной Г.ф. $u(x)$ в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя с плотностями $\frac{\partial u(y)}{\partial e}$ и $-u(y)$. Между этими плотностями имеется интегральная зависимость: левая часть формулы (*) (интеграл Грина) должна обращаться в нуль для всех точек $\boldsymbol{x}$, лежащих вне $\bar{D}$. Основные свойства $\Gamma$. ф. (граница $S$ области $D$ достаточно гладкая). 1) Если $D-$ конечная область и $u(x) \in C^{1}(\bar{D})$, то \[ \int_{S} \frac{\partial u(y)}{\partial e} d \sigma(y)=0 \] 2) Теорема о среднем значении: если $u(x)-$ Г.ф. в шаре $B=B(a, R)$ радиуса $R$ с центром $a$ и $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) \in C^{1}(\overline{\boldsymbol{B}})$, то ее значение в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере $S(a, R)$, то есть \[ u(a)=\frac{1}{\sigma_{n}(R)} \int_{S(a, R)} u(y) d \sigma(y) . \] 3) Принцип экстремума: если $D-$ область в $\mathbb{R}^{n}$, не содержащая точку $\infty, u(x)-\Gamma$. ф. в $D, u(x) \neq$ const, то ни в какой точке $a \in D$ функция $u(x)$ не может достигать локального экстремума. Если, кроме того, $u(x) \in C(\bar{D})$, то наибольшее и наименьшее значения $u(x)$ в замкнутой области $\bar{D}$ достигаются только в точках границы $S$. 4) Стирание особенностей: если $u(x)-\Gamma . \phi$. в области $D \backslash\{a\}, a \in D$, удовлетворяющая условию \[ u(x)=o\left(\left|h_{n}(x-a)\right|\right), x \rightarrow a, \] то существует конечный предел \[ \lim _{x \rightarrow a} u(x)=u(a), \] приняв к-рый за значение функции $u(x)$ в точке $a$, получают Г.ф. в $D$. 5) Если $u(x)-$ Г.ф. во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, ограниченная сверху или снизу, то \[ u(x)=\text { const. } \] 6) Если $u(x)-\Gamma . \phi$. в окрестности точки $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$, то $u(x)$ разлагается в степенной ряд по переменным $x_{1}-a_{1}$, $\ldots, x_{n}-a_{n}$, то есть всякая Г.ф. есть аналитич. функция переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Следовательно, Г.ф. $u(x)$ имеет производные всех порядков \[ \frac{\partial^{m} u}{\partial x_{1}^{k_{1}} \ldots \partial x_{n}^{k_{n}}}, \quad k_{1}+\ldots+k_{n}=m \] к-рые в свою очередь являются Г.ф. 7) Свойство единственности: если $u(x)-\Gamma . Ф$. в области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ и $u(x) \equiv 0$ в $n$-мерной окрестности какой-либо точки $a \in D$, то $u(x) \equiv 0$ в $D$. Если $u(x)-$ аналитич. функция переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ в области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ и $u(x)-\Gamma$. ф. в $n$-мерной окрестности какой-либо точки $a \in D$, то $u(x)-\Gamma$. ф. в $D$. 8) Принцип симметрии: пусть на границе $\partial D$ области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ имеется открытое в плоскости $x_{n}=0$ множество $G, u(x)-\Gamma$. ф. в $D$ и $u(x)=0$ всюду на $G, \widetilde{D}-$ область, симметричная с $D$ относительно плоскости $x_{n}=0$. Тогда формула \[ \begin{gathered} u\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right)=-u\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1},-x_{n}\right), \\ \left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right) \in \widetilde{D}, \end{gathered} \] дает гармонич. продолжение функции $u$ в область $D \cup G \cup \tilde{D}$. 9) Первая теорема Гарнака: пусть последовательность $\Gamma . \phi .\left\{u_{n}(x)\right\}$, непрерывных в конечной замкнутой области $\bar{D}$, сходится равномерно на границе $S=\partial \bar{D}$; тогда она сходится равномерно в $\bar{D}$ и предельная функция есть $\Gamma$. ф. в $D$. \[ u(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x) \] 10) Вторая теорема Гарнака: пусть последовательность Г. ф. $\left\{u_{n}(x)\right\}$ монотонна в области $D$ и сходится по крайней мере в одной точке $a \in D$; тогда она сходится всюду в $D$ к $\Gamma$. ф. \[ u(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x) . \] Если $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)-$ аналитич. функция комплексного переменного $z=x+i y$, то ее действительная и мнимая части $u(x, y)=\operatorname{Re} f(z), v(x, y)=\operatorname{Im} f(z)$ являются сопряженными Г.ф. (то есть они связаны Коши - Римана условиями). Обратно, если в окрестности точки $a=b+i c$ задана Г.ф. $u(x, y)$, то соответствующую аналитич. функцию $f(z)$, для к-рой $u(x, y)$ является действительной частью, можно найти, напр., по формуле \[ f(z)=2 u\left(\frac{z+a}{2}, \frac{z-a}{2 i}\right)-u(b, c)+i C_{0}, \] где $C_{0}$ - произвольная действительная постоянная. В математич. физике Г.ф. имеют важное значение главным образом потому, что часто встречаются потенциальные векторные поля вида $s=-\operatorname{grad} u(x)$, для к-рых уравнение сохранения $\operatorname{div} s=-\Delta u(x)$ есть уравнение Лапласа для потенциала $u(x)$, то есть $u(x)-\Gamma . \phi$.

действительная функция $u(x)$ действительных переменных $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), n \geqslant 2$, заданная в некоторой области $D$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n}$, имеющая в $D$ непрерывные частные производные первого и второго порядков и являющаяся решением уравнения Лапласа: \[ \Delta u \equiv \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}^{2}}+\ldots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}^{2}}=0 . \] На комплексные функции $w(x)=u(x)+i v(x)$ это определение распространяется в том случае, если их действительная и мнимая части $u(x)=\operatorname{Re} w(x), v(x)=\operatorname{Im} w(x)$ являются Г.ф. В случае неограниченной области $D$ с компактной границей $S=\partial D$ обычно целесообразно доопределить $Г . \phi . ~ u(x)$ так, чтобы она была регулярной в бесконечно удаленной точке (в бесконечности) $\infty$. При $n \geqslant 3$ это означает, что существует предел \[ \lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=u(\infty)=0, \quad|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}} . \] При $n=2$ должно выполняться условие \[ u(x)=O(1),|x| \rightarrow \infty, \] из к-рого вытекает существование конечного предела \[ \lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=u(\infty) \] Основная в теории Г.ф. формула Грина выражает значения Г.ф. $u(x)$ внутри области $D$ через ее значения на границе $S=\partial D$ и через значения ее производной по направлению $\boldsymbol{e}$ внешней нормали к $S$ : $\int_{S}\left[h_{n}(x-y) \frac{\partial u(y)}{\partial e}-u(y) \frac{\partial h_{n}(x-y)}{\partial e_{y}}\right] d \sigma(y)=\left\{\begin{array}{cc}u(x), & x \in \underline{D}, \\ 0, & x \notin \bar{D} .\end{array}\right.$ Здесь \[ h_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi} \ln |x|, \quad h_{n}(x)=\frac{1}{(n-2) \sigma_{n}} \frac{1}{|x|^{n-2}}, \quad n>2, \] - главные фундаментальные решения уравнения Лапласа, \[ \sigma_{n}(R)=n \frac{\pi^{n / 2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} R^{n-1}, \quad \sigma_{n}(1)=\sigma_{n}, \quad n \geqslant 2, \] - площадь сферы радиуса $R$ в $\mathbb{R}^{n}$. Формула Грина справедлива, напр., при условии, что $u(x)$ и ее частные производные первого порядка непрерывны в замкнутой области $\bar{D}=D \cup S$, граница $S$ к-рой есть кусочно гладкая замкнутая поверхность (при $n \geqslant 3$ ) или кривая (при $n=2$ ). Формула Грина дает представление произвольной Г.ф. $u(x)$ в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя с плотностями $\frac{\partial u(y)}{\partial e}$ и $-u(y)$. Между этими плотностями имеется интегральная зависимость: левая часть формулы (*) (интеграл Грина) должна обращаться в нуль для всех точек $\boldsymbol{x}$, лежащих вне $\bar{D}$. Основные свойства $\Gamma$. ф. (граница $S$ области $D$ достаточно гладкая). 1) Если $D-$ конечная область и $u(x) \in C^{1}(\bar{D})$, то \[ \int_{S} \frac{\partial u(y)}{\partial e} d \sigma(y)=0 \] 2) Теорема о среднем значении: если $u(x)-$ Г.ф. в шаре $B=B(a, R)$ радиуса $R$ с центром $a$ и $\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) \in C^{1}(\overline{\boldsymbol{B}})$, то ее значение в центре шара равно среднему арифметическому ее значений на сфере $S(a, R)$, то есть \[ u(a)=\frac{1}{\sigma_{n}(R)} \int_{S(a, R)} u(y) d \sigma(y) . \] 3) Принцип экстремума: если $D-$ область в $\mathbb{R}^{n}$, не содержащая точку $\infty, u(x)-\Gamma$. ф. в $D, u(x) \neq$ const, то ни в какой точке $a \in D$ функция $u(x)$ не может достигать локального экстремума. Если, кроме того, $u(x) \in C(\bar{D})$, то наибольшее и наименьшее значения $u(x)$ в замкнутой области $\bar{D}$ достигаются только в точках границы $S$. 4) Стирание особенностей: если $u(x)-\Gamma . \phi$. в области $D \backslash\{a\}, a \in D$, удовлетворяющая условию \[ u(x)=o\left(\left|h_{n}(x-a)\right|\right), x \rightarrow a, \] то существует конечный предел \[ \lim _{x \rightarrow a} u(x)=u(a), \] приняв к-рый за значение функции $u(x)$ в точке $a$, получают Г.ф. в $D$. 5) Если $u(x)-$ Г.ф. во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, ограниченная сверху или снизу, то \[ u(x)=\text { const. } \] 6) Если $u(x)-\Gamma . \phi$. в окрестности точки $a=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$, то $u(x)$ разлагается в степенной ряд по переменным $x_{1}-a_{1}$, $\ldots, x_{n}-a_{n}$, то есть всякая Г.ф. есть аналитич. функция переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Следовательно, Г.ф. $u(x)$ имеет производные всех порядков \[ \frac{\partial^{m} u}{\partial x_{1}^{k_{1}} \ldots \partial x_{n}^{k_{n}}}, \quad k_{1}+\ldots+k_{n}=m \] к-рые в свою очередь являются Г.ф. 7) Свойство единственности: если $u(x)-\Gamma . Ф$. в области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ и $u(x) \equiv 0$ в $n$-мерной окрестности какой-либо точки $a \in D$, то $u(x) \equiv 0$ в $D$. Если $u(x)-$ аналитич. функция переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ в области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ и $u(x)-\Gamma$. ф. в $n$-мерной окрестности какой-либо точки $a \in D$, то $u(x)-\Gamma$. ф. в $D$. 8) Принцип симметрии: пусть на границе $\partial D$ области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ имеется открытое в плоскости $x_{n}=0$ множество $G, u(x)-\Gamma$. ф. в $D$ и $u(x)=0$ всюду на $G, \widetilde{D}-$ область, симметричная с $D$ относительно плоскости $x_{n}=0$. Тогда формула \[ \begin{gathered} u\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right)=-u\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1},-x_{n}\right), \\ \left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{n}\right) \in \widetilde{D}, \end{gathered} \] дает гармонич. продолжение функции $u$ в область $D \cup G \cup \tilde{D}$. 9) Первая теорема Гарнака: пусть последовательность $\Gamma . \phi .\left\{u_{n}(x)\right\}$, непрерывных в конечной замкнутой области $\bar{D}$, сходится равномерно на границе $S=\partial \bar{D}$; тогда она сходится равномерно в $\bar{D}$ и предельная функция есть $\Gamma$. ф. в $D$. \[ u(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x) \] 10) Вторая теорема Гарнака: пусть последовательность Г. ф. $\left\{u_{n}(x)\right\}$ монотонна в области $D$ и сходится по крайней мере в одной точке $a \in D$; тогда она сходится всюду в $D$ к $\Gamma$. ф. \[ u(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x) . \] Если $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)-$ аналитич. функция комплексного переменного $z=x+i y$, то ее действительная и мнимая части $u(x, y)=\operatorname{Re} f(z), v(x, y)=\operatorname{Im} f(z)$ являются сопряженными Г.ф. (то есть они связаны Коши - Римана условиями). Обратно, если в окрестности точки $a=b+i c$ задана Г.ф. $u(x, y)$, то соответствующую аналитич. функцию $f(z)$, для к-рой $u(x, y)$ является действительной частью, можно найти, напр., по формуле \[ f(z)=2 u\left(\frac{z+a}{2}, \frac{z-a}{2 i}\right)-u(b, c)+i C_{0}, \] где $C_{0}$ - произвольная действительная постоянная. В математич. физике Г.ф. имеют важное значение главным образом потому, что часто встречаются потенциальные векторные поля вида $s=-\operatorname{grad} u(x)$, для к-рых уравнение сохранения $\operatorname{div} s=-\Delta u(x)$ есть уравнение Лапласа для потенциала $u(x)$, то есть $u(x)-\Gamma . \phi$.