ГЕЙЗЕНБЕРГА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

1) В квантовой механике представление (картина) Гейзенберга - схема описания динамики, являющаяся аналогом классической картины Гамильтона. В Г. П. состояния (волновые функции) не зависят от времени, а наблюдаемые изменяются в соответствии с уравнением Гейзенберга \[ i \hbar \frac{d}{d t} A(t)=[A(t), H],\left.A(t)\right|_{t=0}=A,[A, B] \doteqdot A B-B A, \] определяющим однопараметрич. семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых (здесь $H$ - самосопряженный гамильтониан). Уравнение (1) имеет решение \[ A(t)=U^{-1}(t) A U(t) \] где $U(t)=\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} H t\right\}-$ унитарный оператор эволюции. Г. п. унитарно эквивалентно Шредингера представлению, а значит они содержат одну и ту же физич. информацию. Связь этих представлений осуществляется оператором $U(t)$. Если $\psi(x), A(t)$ - волновая функция и наблюдаемая в Г. п., то в представлении Шредингера им соответствуют \[ \psi_{\amalg}(x, t)=U(t) \psi(x), A_{\amalg}=A=U(t) A(t) U^{-1}(t) . \] В начальный момент $t=0$ векторы состояния и наблюдаемые в обоих представлениях совпадают. Г. п. эквивалентно также взаимодействия представлению. В Г. П. наблюдаемые, коммутирующие с $H$ (а значит и сам $H$), не меняются со временем, и называются квантовыми интегралами движения. Зависимость от времени среднего значения наблюдаемой $A(t)$ в смешанном состоянии $\omega$ определяется формулой $\langle A(t), \omega\rangle=\operatorname{Tr}(A(t), \rho)$, где $\rho$ - оператор (матрица) плотности, или формулой $\langle A(t), \omega\rangle=\langle\psi, A(t), \psi\rangle$ для чистого состояния, описываемого кет-вектором $|\psi\rangle$. В случае, когда наблюдаемая $A$, будучи функцией фундаментальных переменных, в представлении Шредингера имеет явную зависимость от времени, в правой части уравнения (1) появится дополнительное слагаемое $i \hbar \partial_{t} A$. Г. п. возникло в матричной механике Гейзенберга и особенно удобно при обсуждении классич. аналогий. 2) В теории представлений перестановочных соотношений представление Гейзенберга - любая реализация канонических коммутационных соотношений \[ \left.\begin{array}{c} {\left[Q_{j}, P_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k},\left[Q_{j}, Q_{k}\right]=0,\left[P_{j}, P_{k}\right]=0,} \\ i, j=1, \ldots, d, d \in \mathbb{N}, \end{array}\right\} \] самосопряженными операторами на гильбертовом пространстве $H$; здесь $Q_{j}$ - обобщенные координаты, $P_{j}-$ канонически сопряженные импульсы. Канонич. коммутационные соотношения не могут быть удовлетворены ограниченными операторами, так что (2) выполняется не на всем $H$, а только на плотной в $H$ области $D$. С теоретико-групповой точки зрения канонич. коммутационные соотношения определяют алгебру Ли нильпотентной группы Ли. Эту алгебру называют алгеброй Гейзенберга, а группу - группой Гейзенберга-Вейля. Поскольку теория представлений алгебр Ли богаче теории представлений групп Ли, то существуют неэкспоненцируемые представления канонич. коммутационных соотношений, унитарно неэквивалентные стандартному представлению Шредингера. Теорема Неймана единственности представления Шредингера относится только к представлениям вейлевской формы канонич. коммутационных соотношений, то есть к представлениям группы Гейзенберга-Вейля. Аналогичные теоремы, относящиеся к гейзенберговским канонич. коммутационным соотношениям, содержат довольно сильные дополнительные условия. Напр., теорема Реллиха-Диксмье требует существенной самосопряженности на $D$ оператора $P^{2}+Q^{2}$ (в случае $d=1$). Пример Г. П., не являющегося представлением Шредингера, дает представление, соответствующее свободной квантовой частице на отрезке $[a, b] \subset \mathbb{R}$ с периодич. граничными условиями \[ \psi(b)=\psi(a):(Q \psi)(x)=x \psi(x),(P, \psi)(x)=-i \hbar \frac{d}{d x} \psi . \] В этом представлении оператор $Q$ ограничен и имеет дискретный спектр, а вейлевская форма канонич. коммутационных соотношений не выполнена. Г. п., не эквивалентное представлению Шредингера, можно использовать при построении самосопряженного оператора фазы Ф канонически сопряженного оператору числа частиц $N$ (см. [2], [3]). В этом случае соотношение $[N, \Phi]=i \hbar 1$ выполнено на плотной области, не содержащей собственных состояний оператора $N$, что позволяет избежать известных затруднений, связанных с определением $\Phi$ (см. [4]). Лит.: [1] Putnam C. R., Commutation properties of Hilbert space operators and related topics, B., 1967; [2] Garrison J. C., Wong J., «J. Math. Phys.», 1970, v. 11, № 8, p. 2243-51; [3] Алимов А. Л., Дамаскинский Е. В., «Теоретич. и математич. физика», 1979, т. 38, № 1, с. 58-70; [4] Каррузерс П., Ниетто М., в сб.: Когерентные состояния в квантовой теории, пер. с англ., М., 1972, $\begin{array}{ll}\text { с. 76-146. } & \text { E. В. Дамаскинский. }\end{array}$

1) В квантовой механике представление (картина) Гейзенберга - схема описания динамики, являющаяся аналогом классической картины Гамильтона. В Г. П. состояния (волновые функции) не зависят от времени, а наблюдаемые изменяются в соответствии с уравнением Гейзенберга \[ i \hbar \frac{d}{d t} A(t)=[A(t), H],\left.A(t)\right|_{t=0}=A,[A, B] \doteqdot A B-B A, \] определяющим однопараметрич. семейство автоморфизмов алгебры наблюдаемых (здесь $H$ - самосопряженный гамильтониан). Уравнение (1) имеет решение \[ A(t)=U^{-1}(t) A U(t) \] где $U(t)=\exp \left\{-\frac{i}{\hbar} H t\right\}-$ унитарный оператор эволюции. Г. п. унитарно эквивалентно Шредингера представлению, а значит они содержат одну и ту же физич. информацию. Связь этих представлений осуществляется оператором $U(t)$. Если $\psi(x), A(t)$ - волновая функция и наблюдаемая в Г. п., то в представлении Шредингера им соответствуют \[ \psi_{\amalg}(x, t)=U(t) \psi(x), A_{\amalg}=A=U(t) A(t) U^{-1}(t) . \] В начальный момент $t=0$ векторы состояния и наблюдаемые в обоих представлениях совпадают. Г. п. эквивалентно также взаимодействия представлению. В Г. П. наблюдаемые, коммутирующие с $H$ (а значит и сам $H$), не меняются со временем, и называются квантовыми интегралами движения. Зависимость от времени среднего значения наблюдаемой $A(t)$ в смешанном состоянии $\omega$ определяется формулой $\langle A(t), \omega\rangle=\operatorname{Tr}(A(t), \rho)$, где $\rho$ - оператор (матрица) плотности, или формулой $\langle A(t), \omega\rangle=\langle\psi, A(t), \psi\rangle$ для чистого состояния, описываемого кет-вектором $|\psi\rangle$. В случае, когда наблюдаемая $A$, будучи функцией фундаментальных переменных, в представлении Шредингера имеет явную зависимость от времени, в правой части уравнения (1) появится дополнительное слагаемое $i \hbar \partial_{t} A$. Г. п. возникло в матричной механике Гейзенберга и особенно удобно при обсуждении классич. аналогий. 2) В теории представлений перестановочных соотношений представление Гейзенберга - любая реализация канонических коммутационных соотношений \[ \left.\begin{array}{c} {\left[Q_{j}, P_{k}\right]=i \hbar \delta_{j k},\left[Q_{j}, Q_{k}\right]=0,\left[P_{j}, P_{k}\right]=0,} \\ i, j=1, \ldots, d, d \in \mathbb{N}, \end{array}\right\} \] самосопряженными операторами на гильбертовом пространстве $H$; здесь $Q_{j}$ - обобщенные координаты, $P_{j}-$ канонически сопряженные импульсы. Канонич. коммутационные соотношения не могут быть удовлетворены ограниченными операторами, так что (2) выполняется не на всем $H$, а только на плотной в $H$ области $D$. С теоретико-групповой точки зрения канонич. коммутационные соотношения определяют алгебру Ли нильпотентной группы Ли. Эту алгебру называют алгеброй Гейзенберга, а группу - группой Гейзенберга-Вейля. Поскольку теория представлений алгебр Ли богаче теории представлений групп Ли, то существуют неэкспоненцируемые представления канонич. коммутационных соотношений, унитарно неэквивалентные стандартному представлению Шредингера. Теорема Неймана единственности представления Шредингера относится только к представлениям вейлевской формы канонич. коммутационных соотношений, то есть к представлениям группы Гейзенберга-Вейля. Аналогичные теоремы, относящиеся к гейзенберговским канонич. коммутационным соотношениям, содержат довольно сильные дополнительные условия. Напр., теорема Реллиха-Диксмье требует существенной самосопряженности на $D$ оператора $P^{2}+Q^{2}$ (в случае $d=1$). Пример Г. П., не являющегося представлением Шредингера, дает представление, соответствующее свободной квантовой частице на отрезке $[a, b] \subset \mathbb{R}$ с периодич. граничными условиями \[ \psi(b)=\psi(a):(Q \psi)(x)=x \psi(x),(P, \psi)(x)=-i \hbar \frac{d}{d x} \psi . \] В этом представлении оператор $Q$ ограничен и имеет дискретный спектр, а вейлевская форма канонич. коммутационных соотношений не выполнена. Г. п., не эквивалентное представлению Шредингера, можно использовать при построении самосопряженного оператора фазы Ф канонически сопряженного оператору числа частиц $N$ (см. [2], [3]). В этом случае соотношение $[N, \Phi]=i \hbar 1$ выполнено на плотной области, не содержащей собственных состояний оператора $N$, что позволяет избежать известных затруднений, связанных с определением $\Phi$ (см. [4]). Лит.: [1] Putnam C. R., Commutation properties of Hilbert space operators and related topics, B., 1967; [2] Garrison J. C., Wong J., «J. Math. Phys.», 1970, v. 11, № 8, p. 2243-51; [3] Алимов А. Л., Дамаскинский Е. В., «Теоретич. и математич. физика», 1979, т. 38, № 1, с. 58-70; [4] Каррузерс П., Ниетто М., в сб.: Когерентные состояния в квантовой теории, пер. с англ., М., 1972, $\begin{array}{ll}\text { с. 76-146. } & \text { E. В. Дамаскинский. }\end{array}$