ГЕОМЕТРО-ОПТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

асимптотическое решение уравнений, описывающих волновой процесс, имеющее вид: \[ u \sim e^{-i \omega t+i \omega \tau(x)} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{u_{j}(x)}{(-i \omega)^{j}}, \quad x=\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right) . \] Здесь $u$ - функция, описывающая волновое поле, $\omega-$ частота или параметр, ей пропорциональный, $\omega \gg 1, u_{j}(x)-$ искомые функции. Существует ряд обобщений, аналогов и вариантов разложения (1), к-рые тоже называются Г.-о. П. Иногда под Г.-о. П. подразумевают главный член разложения (1). Пусть волновой процесс описывается волновым уравнением с переменной скоростью \[ \frac{1}{c^{2}(x)} u_{t t}-\Delta u=0, \quad u=u(t, x), \] и ряд (1) удовлетворяет уравнению (2). Тогда должно выполняться уравнение эйконала \[ \sum_{j=1}^{3}\left(\frac{\partial \tau}{\partial x^{j}}\right)^{2}=(\nabla \tau)^{2}=\frac{1}{c^{2}(x)} \] и рекуррентная система уравнений переноса: \[ 2 \nabla \tau \nabla u_{j}+u_{j} \Delta \tau=\Delta u_{j-1}, u_{-1} \equiv 0, j=0,1,2, \ldots \] Используя лучи, то есть экстремали интеграла Ферма \[ \int d s \mid c, \quad d s^{2}=\sum_{j=1}^{3}\left(d x^{j}\right)^{2}, \] можно найти $\tau(x)$ и последовательно проинтегрировать уравнения (4). По заданной разложением (1) падающей «волны», используя граничные условия на отражающей или преломляющей поверхности можно в виде (1) найти отраженную и преломленную «волны». Г.-о. П. можно строить для уравнений Максвелла, упругости. В скалярном случае вместо (1) можно рассматривать выражение \[ \exp \left(-i \omega t+i \omega \tau(x)+V_{0}(x)-V_{1} /(-i \omega)+\ldots\right) \text {. } \] Вариантом Г.-о. П. является пространственно-временное разложение \[ u \sim e^{i p \theta(x, t)} \sum_{j=0}^{\infty} u_{j}(x, t) /(i p)^{j}, \quad p \gg 1 . \] В таком виде можно представить волны, модулированные по амплитуде и частоте, волновые пакеты. Ряды вида (1) или (5) с комплексными $\tau(x)$ позволяют описать так наз. гауссовы пучки, волны Рэлея, гауссовы пучки волн Рэлея. Используя более сложные разложения, чем (1) или (5), можно построить выражения для волны шепчущей галереи, Лява, в линейном приближении волны на поверхности тяжелой жидкости и т. д. Эти волны будут распространяться вдоль лучей, будет иметь смысл нек-рый аналог уравнений (3)-(4).

асимптотическое решение уравнений, описывающих волновой процесс, имеющее вид: \[ u \sim e^{-i \omega t+i \omega \tau(x)} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{u_{j}(x)}{(-i \omega)^{j}}, \quad x=\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right) . \] Здесь $u$ - функция, описывающая волновое поле, $\omega-$ частота или параметр, ей пропорциональный, $\omega \gg 1, u_{j}(x)-$ искомые функции. Существует ряд обобщений, аналогов и вариантов разложения (1), к-рые тоже называются Г.-о. П. Иногда под Г.-о. П. подразумевают главный член разложения (1). Пусть волновой процесс описывается волновым уравнением с переменной скоростью \[ \frac{1}{c^{2}(x)} u_{t t}-\Delta u=0, \quad u=u(t, x), \] и ряд (1) удовлетворяет уравнению (2). Тогда должно выполняться уравнение эйконала \[ \sum_{j=1}^{3}\left(\frac{\partial \tau}{\partial x^{j}}\right)^{2}=(\nabla \tau)^{2}=\frac{1}{c^{2}(x)} \] и рекуррентная система уравнений переноса: \[ 2 \nabla \tau \nabla u_{j}+u_{j} \Delta \tau=\Delta u_{j-1}, u_{-1} \equiv 0, j=0,1,2, \ldots \] Используя лучи, то есть экстремали интеграла Ферма \[ \int d s \mid c, \quad d s^{2}=\sum_{j=1}^{3}\left(d x^{j}\right)^{2}, \] можно найти $\tau(x)$ и последовательно проинтегрировать уравнения (4). По заданной разложением (1) падающей «волны», используя граничные условия на отражающей или преломляющей поверхности можно в виде (1) найти отраженную и преломленную «волны». Г.-о. П. можно строить для уравнений Максвелла, упругости. В скалярном случае вместо (1) можно рассматривать выражение \[ \exp \left(-i \omega t+i \omega \tau(x)+V_{0}(x)-V_{1} /(-i \omega)+\ldots\right) \text {. } \] Вариантом Г.-о. П. является пространственно-временное разложение \[ u \sim e^{i p \theta(x, t)} \sum_{j=0}^{\infty} u_{j}(x, t) /(i p)^{j}, \quad p \gg 1 . \] В таком виде можно представить волны, модулированные по амплитуде и частоте, волновые пакеты. Ряды вида (1) или (5) с комплексными $\tau(x)$ позволяют описать так наз. гауссовы пучки, волны Рэлея, гауссовы пучки волн Рэлея. Используя более сложные разложения, чем (1) или (5), можно построить выражения для волны шепчущей галереи, Лява, в линейном приближении волны на поверхности тяжелой жидкости и т. д. Эти волны будут распространяться вдоль лучей, будет иметь смысл нек-рый аналог уравнений (3)-(4).