ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

равновесные распределения вероятностей пребывания систем из большого числа частиц в состояниях, реализуемых в различных физических условиях. Г. р. - фундаментальные законы статистич. механики; установлены Дж. Гиббсом (J. Gibbs, 1901) для случая классич. механики и обобщены Дж. Нейманом (J. Neumann, 1927) для квантовой механики. Статистический ансамбль Гиббса. Для получения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса: совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (классической или квантовой), соответствующих заданным макроскопич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазовом пространстве координат $q$ и импульсов $p$ частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место для классич. системы с функцией Гамильтона $H(p, q)$ в $6 N$-мерном фазовом пространстве всех $N$ частиц системы $p, q$, где \[ p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), n=3 N, \] с функцией распределения плотности вероятности $f(p, q)$ и для квантовых состояний системы с квантовыми уровнями $\xi_{i}$, к-рая описывается статистическим оператором $\hat{\rho}$ или плотности матрицей. Функция распределения $f(p, q)$ удовлетворяет Лиувилля уравнению, а статистич. оператор $\hat{\rho}-$ квантовому уравнению Лиувилля - Неймана уравнению. Микроканоническое распределение. В случае статистич. равновесия совокупность энергетически изолированных от окружающей среды систем с энергией $\mathscr{E}$ при постоянном объеме $V$ с заданным числом частиц $N$ (микроканонический ансамбль Гиббса) описывается Гиббса микроканоническим распределением, согласно к-рому все состояния системы в узкой области энергий $(\Delta \mathscr{E} \ll \mathscr{E})$ вблизи $\mathscr{E}$ равновероятны (основная гипотеза статистич. механики): \[ f(p, q)= \begin{cases}W(\mathscr{E}, N, V)^{-1} & \text { при } \mathscr{E} \leqslant H(p, q) \leqslant \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E}, \\ 0 & \text { вне слоя } \Delta \mathscr{E},\end{cases} \] где $W(\mathscr{E}, N, V)-$ статистич. вес макроскопич. состояния с заданными \& $, N, V$, то есть число микроскопич. состояний в энергетич. слое $\mathscr{E}, \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E}$. Статистич. вес определяется из условия, что полная вероятность пребывания системы в любом из возможных состояний равна 1 (условие нормировки вероятности): \[ \int f(p, q) d \Gamma_{N}=1 \] где \[ d \Gamma_{N}=d p d q / N ! h^{3 N} \] - плотность состояний, множитель $N$ ! учитывает неразличимость частиц, $h=6,626 \cdot 10^{-27}$ эрг·с - постоянная Планка. Следовательно, \[ W(\mathscr{E}, N, V)=\int \frac{d p d q}{N ! h^{3 N}} \] где интегрирование ведется в пределах \[ \nsucc \leqslant H_{N}(p, q) \leqslant \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E} \] Появление $h$ связано с тем, что классич. Г. р. рассматривается как предельный случай квантового (см. Квазиклассическое приближение). Микроканонич. Г. р. не чувствительно к выбору величи-  \[ f(p, q)=A \delta\left(H_{N}(p, q)-\check{\varepsilon}\right) \] где $\delta$ - дельта-функция, $A-$ постоянная, определяемая из условия нормировки. Распределение вероятностей, соответствующее однородному распределению внутри слоя, микроканонич. Г. р. по энергетич. поверхности \[ \sigma\left(H_{N}\right)=\operatorname{const}\left|\operatorname{grad} H_{N}\right|^{-1} \] константа определяется из условия нормировки \[ \int \sigma\left(H_{N}\right) d \Gamma=1 \] $\operatorname{grad} H_{N}$ берется в фазовом пространстве. Статистич. вес $W(*, N, V)$ определяет энтропию системы $S$ как функцию \&, $N, V$ : \[ S=R \ln W(\mathscr{\varepsilon}, N, V) \] а следовательно, и все другие термодинамич. функции системы, определяемой заданной формой гамильтониана. Каноническое распределение Гиббса - распределение вероятностей состояний статистич. ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при постоянном объеме и постоянном числе частиц, соответствует каноническому ансамблю Гиббса: \[ f(p, q)=Z^{-1} \exp \left(-H_{N}(p, q) / k T\right), \] $Z=\mathrm{Z}(T, V, N)-$ статистич. интеграл, определяемый из условия нормировки $f$. \[ Z=\int \exp \left[-H_{N}(p, q) / k T\right] d \Gamma_{N}, \] где интегрирование ведется по фазовому пространству всех $N$ частиц. Канонич. Г. р. можно получить, если рассматривать совокупность данной системы и термостата как одну замкнутую изолированную систему и применить к ней микроканонич. Г. р. Тогда малая подсистема, функцию распределения к-рой можно найти интегрированием по фазовым переменным термостата, описывается канонич. Г.р. (теорема Гиббса). В квантовой статистич. физике статистич. ансамбль характеризуется распределением вероятностей $w_{i}$ квантовых состояний с энергией $\varepsilon_{i}$. Канонич. Г. р. для квантовой системы имеет вид \[ w_{i}=Z^{-1} \exp \left(-\mathscr{E}_{i} / k T\right) \] где $Z$ - статистич. сумма, определяемая из условия нормировки \[ \sum_{i} w_{i}=1 \] равна \[ Z=\sum_{i} \exp \left(-\varkappa_{i} / k T\right) \] где суммирование ведется по всем квантовым состояниям допустимой симметрии. В квантовом случае канонич. Г. р. можно представить с помощью статистич. оператора (матрицы плотности) \[ \hat{\rho}=Z^{-1} \exp (-H / k T) \] где $H$ - гамильтониан системы. Такая форма удобна для приложений с использованием представления вторичного квантования для гамильтониана. Канонич. Г. р. как в классическом, так и в квантовом случаях определяет свободную энергию (энергию Гельмгольца) в переменных $T, V, N$, равную \[ F=-k T \ln Z \] где $Z$ - статистич. интеграл или статистич. сумма. Канонич. Г. р. соответствует максимуму информационной энтропии при заданной средней энергии и при сохранении нормировки. Большое каноническое распределение Гиббса - распределение вероятностей состояний статистич. ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом и материальном равновесии со средой (термостатом и резервуаром частиц) и могут обмениваться с ними при постоянном объеме $V$, соответствует большому каноническому ансамблю Гиббса \[ f_{N}(p, q)=Z^{-1} \exp \left(-\left(H_{N}(p, q)-\mu N\right) / k T\right) \] где $\mu-$ химич. потенциал, $Z=Z(T, \mu, V)-$ статистич. интеграл, определяемый из условия нормировки \[ \sum_{N \geqslant 0} \int f_{N} d \Gamma_{N}=1 \] равен \[ Z=\sum_{N \geqslant 0} \int \exp (-(H(p, q)-\mu N) / k T) d \Gamma_{N} \] Большое канонич. Г. р. можно вывести, если рассматривать совокупность данной системы вместе с термостатом и резервуаром частиц как большую изолированную и замкнутую систему и применить к ней микроканонич. Г. р. Тогда малая подсистема описывается большим канонич. Г.р., к-рое можно найти интегрированием по фазовым переменным термостата и резервуара частиц и суммированием по числу частиц (теорема Гиббса). В квантовой статистике для большого канонич. Г. р. \[ w_{i N}=Z^{-1} \exp \left(-\left(\varkappa_{i}-\mu N\right) / k T\right) \] где условие нормировки \[ \sum_{i, N} w_{i n}=1 \] и \[ Z=\sum_{i, N \geqslant 0} \exp \left(-\left(\varkappa_{i}-\mu N\right) / k T\right) \] а статистич. оператор \[ \hat{\rho}=Z^{-1} \exp (-(H-\mu N) / k T) . \] Большое канонич. Г. р. как в классическом, так и в квантовом случае определяет термодинамич. потенциал \[ \Omega=-k T \ln Z \] в переменных $T, \mu, V$, к-рый наиболее удобен для приложений, так как содержит лишь один экстенсивный параметр $V$. Большое канонич. Г. р. можно получить, если рассматривать совокупность данной системы, являющейся также резервуаром частиц, как одну замкнутую изолированную систему (теорема Гиббса для большого канонич. Г.р.). Большое канонич. распределение соответствует максимуму информационной энтропии при заданных средней энергии и среднего числа частиц, а канонич. распределение при заданной средней энтропии. В обоих случаях нормировка предполагается фиксированной (теоремы об экстремальных свойствах канонич. распределений, доказанные Дж. Гиббсом, 1901). Термодинамическая эквивалентность распределений Гиббса. Все Г. р. вдали от областей сосуществования фаз и критич. точек, вследствие малости относительных флуктуаций, пропорциональных $N^{-1 / 2}$, термодинамически эквивалентны, то есть приводят к одинаковым термодинамич. функциям, после приведения их к одинаковым переменным с помощью преобразования Лежандра. В области фазовых переходов, вообще говоря, нет эквивалентности Г.р. относительно вычисления корреляционных функций и функций распределения флуктуаций. В неравновесной статистич. механике возможно также использование идей статистич. ансамблей Гиббса, напр. с помощью отбора запаздывающих решений уравнения Лиувилля через граничные условия.

равновесные распределения вероятностей пребывания систем из большого числа частиц в состояниях, реализуемых в различных физических условиях. Г. р. - фундаментальные законы статистич. механики; установлены Дж. Гиббсом (J. Gibbs, 1901) для случая классич. механики и обобщены Дж. Нейманом (J. Neumann, 1927) для квантовой механики. Статистический ансамбль Гиббса. Для получения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса: совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (классической или квантовой), соответствующих заданным макроскопич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазовом пространстве координат $q$ и импульсов $p$ частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место для классич. системы с функцией Гамильтона $H(p, q)$ в $6 N$-мерном фазовом пространстве всех $N$ частиц системы $p, q$, где \[ p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right), n=3 N, \] с функцией распределения плотности вероятности $f(p, q)$ и для квантовых состояний системы с квантовыми уровнями $\xi_{i}$, к-рая описывается статистическим оператором $\hat{\rho}$ или плотности матрицей. Функция распределения $f(p, q)$ удовлетворяет Лиувилля уравнению, а статистич. оператор $\hat{\rho}-$ квантовому уравнению Лиувилля - Неймана уравнению. Микроканоническое распределение. В случае статистич. равновесия совокупность энергетически изолированных от окружающей среды систем с энергией $\mathscr{E}$ при постоянном объеме $V$ с заданным числом частиц $N$ (микроканонический ансамбль Гиббса) описывается Гиббса микроканоническим распределением, согласно к-рому все состояния системы в узкой области энергий $(\Delta \mathscr{E} \ll \mathscr{E})$ вблизи $\mathscr{E}$ равновероятны (основная гипотеза статистич. механики): \[ f(p, q)= \begin{cases}W(\mathscr{E}, N, V)^{-1} & \text { при } \mathscr{E} \leqslant H(p, q) \leqslant \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E}, \\ 0 & \text { вне слоя } \Delta \mathscr{E},\end{cases} \] где $W(\mathscr{E}, N, V)-$ статистич. вес макроскопич. состояния с заданными \& $, N, V$, то есть число микроскопич. состояний в энергетич. слое $\mathscr{E}, \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E}$. Статистич. вес определяется из условия, что полная вероятность пребывания системы в любом из возможных состояний равна 1 (условие нормировки вероятности): \[ \int f(p, q) d \Gamma_{N}=1 \] где \[ d \Gamma_{N}=d p d q / N ! h^{3 N} \] - плотность состояний, множитель $N$ ! учитывает неразличимость частиц, $h=6,626 \cdot 10^{-27}$ эрг·с - постоянная Планка. Следовательно, \[ W(\mathscr{E}, N, V)=\int \frac{d p d q}{N ! h^{3 N}} \] где интегрирование ведется в пределах \[ \nsucc \leqslant H_{N}(p, q) \leqslant \mathscr{E}+\Delta \mathscr{E} \] Появление $h$ связано с тем, что классич. Г. р. рассматривается как предельный случай квантового (см. Квазиклассическое приближение). Микроканонич. Г. р. не чувствительно к выбору величи-  \[ f(p, q)=A \delta\left(H_{N}(p, q)-\check{\varepsilon}\right) \] где $\delta$ - дельта-функция, $A-$ постоянная, определяемая из условия нормировки. Распределение вероятностей, соответствующее однородному распределению внутри слоя, микроканонич. Г. р. по энергетич. поверхности \[ \sigma\left(H_{N}\right)=\operatorname{const}\left|\operatorname{grad} H_{N}\right|^{-1} \] константа определяется из условия нормировки \[ \int \sigma\left(H_{N}\right) d \Gamma=1 \] $\operatorname{grad} H_{N}$ берется в фазовом пространстве. Статистич. вес $W(*, N, V)$ определяет энтропию системы $S$ как функцию \&, $N, V$ : \[ S=R \ln W(\mathscr{\varepsilon}, N, V) \] а следовательно, и все другие термодинамич. функции системы, определяемой заданной формой гамильтониана. Каноническое распределение Гиббса - распределение вероятностей состояний статистич. ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при постоянном объеме и постоянном числе частиц, соответствует каноническому ансамблю Гиббса: \[ f(p, q)=Z^{-1} \exp \left(-H_{N}(p, q) / k T\right), \] $Z=\mathrm{Z}(T, V, N)-$ статистич. интеграл, определяемый из условия нормировки $f$. \[ Z=\int \exp \left[-H_{N}(p, q) / k T\right] d \Gamma_{N}, \] где интегрирование ведется по фазовому пространству всех $N$ частиц. Канонич. Г. р. можно получить, если рассматривать совокупность данной системы и термостата как одну замкнутую изолированную систему и применить к ней микроканонич. Г. р. Тогда малая подсистема, функцию распределения к-рой можно найти интегрированием по фазовым переменным термостата, описывается канонич. Г.р. (теорема Гиббса). В квантовой статистич. физике статистич. ансамбль характеризуется распределением вероятностей $w_{i}$ квантовых состояний с энергией $\varepsilon_{i}$. Канонич. Г. р. для квантовой системы имеет вид \[ w_{i}=Z^{-1} \exp \left(-\mathscr{E}_{i} / k T\right) \] где $Z$ - статистич. сумма, определяемая из условия нормировки \[ \sum_{i} w_{i}=1 \] равна \[ Z=\sum_{i} \exp \left(-\varkappa_{i} / k T\right) \] где суммирование ведется по всем квантовым состояниям допустимой симметрии. В квантовом случае канонич. Г. р. можно представить с помощью статистич. оператора (матрицы плотности) \[ \hat{\rho}=Z^{-1} \exp (-H / k T) \] где $H$ - гамильтониан системы. Такая форма удобна для приложений с использованием представления вторичного квантования для гамильтониана. Канонич. Г. р. как в классическом, так и в квантовом случаях определяет свободную энергию (энергию Гельмгольца) в переменных $T, V, N$, равную \[ F=-k T \ln Z \] где $Z$ - статистич. интеграл или статистич. сумма. Канонич. Г. р. соответствует максимуму информационной энтропии при заданной средней энергии и при сохранении нормировки. Большое каноническое распределение Гиббса - распределение вероятностей состояний статистич. ансамбля систем, к-рые находятся в тепловом и материальном равновесии со средой (термостатом и резервуаром частиц) и могут обмениваться с ними при постоянном объеме $V$, соответствует большому каноническому ансамблю Гиббса \[ f_{N}(p, q)=Z^{-1} \exp \left(-\left(H_{N}(p, q)-\mu N\right) / k T\right) \] где $\mu-$ химич. потенциал, $Z=Z(T, \mu, V)-$ статистич. интеграл, определяемый из условия нормировки \[ \sum_{N \geqslant 0} \int f_{N} d \Gamma_{N}=1 \] равен \[ Z=\sum_{N \geqslant 0} \int \exp (-(H(p, q)-\mu N) / k T) d \Gamma_{N} \] Большое канонич. Г. р. можно вывести, если рассматривать совокупность данной системы вместе с термостатом и резервуаром частиц как большую изолированную и замкнутую систему и применить к ней микроканонич. Г. р. Тогда малая подсистема описывается большим канонич. Г.р., к-рое можно найти интегрированием по фазовым переменным термостата и резервуара частиц и суммированием по числу частиц (теорема Гиббса). В квантовой статистике для большого канонич. Г. р. \[ w_{i N}=Z^{-1} \exp \left(-\left(\varkappa_{i}-\mu N\right) / k T\right) \] где условие нормировки \[ \sum_{i, N} w_{i n}=1 \] и \[ Z=\sum_{i, N \geqslant 0} \exp \left(-\left(\varkappa_{i}-\mu N\right) / k T\right) \] а статистич. оператор \[ \hat{\rho}=Z^{-1} \exp (-(H-\mu N) / k T) . \] Большое канонич. Г. р. как в классическом, так и в квантовом случае определяет термодинамич. потенциал \[ \Omega=-k T \ln Z \] в переменных $T, \mu, V$, к-рый наиболее удобен для приложений, так как содержит лишь один экстенсивный параметр $V$. Большое канонич. Г. р. можно получить, если рассматривать совокупность данной системы, являющейся также резервуаром частиц, как одну замкнутую изолированную систему (теорема Гиббса для большого канонич. Г.р.). Большое канонич. распределение соответствует максимуму информационной энтропии при заданных средней энергии и среднего числа частиц, а канонич. распределение при заданной средней энтропии. В обоих случаях нормировка предполагается фиксированной (теоремы об экстремальных свойствах канонич. распределений, доказанные Дж. Гиббсом, 1901). Термодинамическая эквивалентность распределений Гиббса. Все Г. р. вдали от областей сосуществования фаз и критич. точек, вследствие малости относительных флуктуаций, пропорциональных $N^{-1 / 2}$, термодинамически эквивалентны, то есть приводят к одинаковым термодинамич. функциям, после приведения их к одинаковым переменным с помощью преобразования Лежандра. В области фазовых переходов, вообще говоря, нет эквивалентности Г.р. относительно вычисления корреляционных функций и функций распределения флуктуаций. В неравновесной статистич. механике возможно также использование идей статистич. ансамблей Гиббса, напр. с помощью отбора запаздывающих решений уравнения Лиувилля через граничные условия.