ГИЛЬБЕРТОВА АЛГЕБРА

алгебра $А$ с инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) $(x \mid y)=\left(y^{*} \mid x^{*}\right)$ для всех $x, y \in A$; 2) $(x y \mid z)=\left(y \mid x^{*} z\right)$ для всех $x, y, z \in A$; 3) для всех $x \in A$ отображение $y \rightarrow x y$ пространства $A$ в $A$ непрерывно; 4) множество элементов вида $x y, x, y \in A$, всюду плотно в $A$. Примерами Г.а. являются алгебры $L^{2}(G)$ (относительно свертки), где $G-$ компактная топологич. группа, и алгебра операторов Гильберта - Шмидта в данном гильбертовом пространстве. Пусть $A$ - Г. а., $H$ - гильбертово пространство - пополнение $A, U_{x}$ и $V_{x}$ - элементы алгебры ограниченных линейных операторов в $H$, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на $x$ в $A$. Отображение $x \rightarrow U_{x}$ (соответственно $x \rightarrow V_{x}$ ) есть невырожденное представление алгебры $A$ (соответственно алгебры с инволюцией, противоположной $A$ ) в гильбертовом пространстве $H$. Слабое замыкание семейства операторов $U_{x}$ (соответственно $V$ ) является алгеброй $\mathrm{H}$еймана в $H$; она называется левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г.а. $A$ и обозначается $U(A)$ (соответственно $V(A)) ; U(A)$ и $V(A)$ являются коммутантами друг друга; это - полуконечные алгебры Неймана. Любая Г.а. однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана $U(A)$; обратно, если даны алгебра Неймана $\mathfrak{u}$ и точный нормальный полуконечный след на $\mathfrak{u}$, то можно построить Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а. изоморфна $\mathfrak{u}$, и след, определяемый на $\mathfrak{u}$ Г. а., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г.а. является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]). Лит.: [1] Dixmier J., Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969; [2] Takesaki M., Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications, B., 1970. А. И. Штерн.

алгебра $А$ с инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1) $(x \mid y)=\left(y^{*} \mid x^{*}\right)$ для всех $x, y \in A$; 2) $(x y \mid z)=\left(y \mid x^{*} z\right)$ для всех $x, y, z \in A$; 3) для всех $x \in A$ отображение $y \rightarrow x y$ пространства $A$ в $A$ непрерывно; 4) множество элементов вида $x y, x, y \in A$, всюду плотно в $A$. Примерами Г.а. являются алгебры $L^{2}(G)$ (относительно свертки), где $G-$ компактная топологич. группа, и алгебра операторов Гильберта - Шмидта в данном гильбертовом пространстве. Пусть $A$ - Г. а., $H$ - гильбертово пространство - пополнение $A, U_{x}$ и $V_{x}$ - элементы алгебры ограниченных линейных операторов в $H$, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на $x$ в $A$. Отображение $x \rightarrow U_{x}$ (соответственно $x \rightarrow V_{x}$ ) есть невырожденное представление алгебры $A$ (соответственно алгебры с инволюцией, противоположной $A$ ) в гильбертовом пространстве $H$. Слабое замыкание семейства операторов $U_{x}$ (соответственно $V$ ) является алгеброй $\mathrm{H}$еймана в $H$; она называется левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г.а. $A$ и обозначается $U(A)$ (соответственно $V(A)) ; U(A)$ и $V(A)$ являются коммутантами друг друга; это - полуконечные алгебры Неймана. Любая Г.а. однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана $U(A)$; обратно, если даны алгебра Неймана $\mathfrak{u}$ и точный нормальный полуконечный след на $\mathfrak{u}$, то можно построить Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а. изоморфна $\mathfrak{u}$, и след, определяемый на $\mathfrak{u}$ Г. а., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г.а. является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]). Лит.: [1] Dixmier J., Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969; [2] Takesaki M., Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications, B., 1970. А. И. Штерн.