ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО ГЛАДКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ $\left\{S^{t}\right\}$

компактное подмножество $F$ фазового многообразия $M$, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из которых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, которые не лежат в $F$) напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. м. гладкой динамич. системы $\left\{S^{t}\right\}-$ это такое компактное инвариантное подмножество $F$ фазового многообразия $M$, что в каждой точке $x \in F$ в касательном пространстве $T_{x} M$ к $M$ имеются подпространства $E_{x}^{S}$ и $E_{x}^{u}$, для к-рых выполняются следующие два условия. 1) Действие дифференциалов $\tilde{S}_{x}^{t}: T_{x} M \rightarrow T S_{x}^{t} M$ отображений $S^{t}: M \rightarrow M$ в точке $x$ на векторы $\xi \in E_{x}^{s}, \eta \in E_{x}^{u}$ удовлетворяет неравенствам: \[ \begin{gathered} \left|\tilde{S}_{x}^{t} \xi\right| \leqslant a|\xi| e^{-c t} \text { при } t \geqslant 0, \\ \left|\tilde{S}_{x}^{t^{\prime}} \xi\right| \geqslant b|\xi| e^{-c t} \text { при } t \leqslant 0, \\ \left|\tilde{S}_{x}^{t} \eta\right| \leqslant a|\eta| e^{c t} \text { при } t \leqslant 0, \\ \left|\tilde{S}_{x}^{t} \eta\right| \geqslant b|\eta| e^{c t} \text { при } t \geqslant 0 \end{gathered} \] с нек-рыми константами $a, b, c>0$, не зависящими от $x$. 2) Если $\left\{S^{t}\right\}-$ каскад (то есть время $t$ принимает целочисленные значения), то \[ T_{x} M=E_{x}^{s} \oplus E_{x}^{u} \] а если $\left\{S^{t}\right\}-$ поток (то есть время $t$ непрерывно), то \[ T_{x} M=E_{x}^{S} \oplus E_{x}^{u} \oplus E_{x}^{n} \] где $E_{x}^{n}$ - одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на $F$ не обращается в нуль). Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бывает целесообразно причислить к Г.м. такие положения равновесия потоков, для к-рых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси. Классич. пример Г. м. потока - периодич. траектория, для к-рой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых систем все фазовое пространство является Г. м. Много примеров Г. м. было обнаружено при изучении динамич. систем классич. происхождения (напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде Г. м. были введены С. Смейлом (S. Smale) в 1965 (см. [2]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамич. систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (см. также [3]). Лит.: [1] Кушниренко А. Г., Каток А. Б., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, в кн.: Девятая летняя математич. школа, Киев, 1972, с. 50-341; [2] Смейл С., «Успехи математич. наук», 1970, т. 25, в. 1, с. 113-185; [3] Ницки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975. Д. В. Аносов.

компактное подмножество $F$ фазового многообразия $M$, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из которых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, которые не лежат в $F$) напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. м. гладкой динамич. системы $\left\{S^{t}\right\}-$ это такое компактное инвариантное подмножество $F$ фазового многообразия $M$, что в каждой точке $x \in F$ в касательном пространстве $T_{x} M$ к $M$ имеются подпространства $E_{x}^{S}$ и $E_{x}^{u}$, для к-рых выполняются следующие два условия. 1) Действие дифференциалов $\tilde{S}_{x}^{t}: T_{x} M \rightarrow T S_{x}^{t} M$ отображений $S^{t}: M \rightarrow M$ в точке $x$ на векторы $\xi \in E_{x}^{s}, \eta \in E_{x}^{u}$ удовлетворяет неравенствам: \[ \begin{gathered} \left|\tilde{S}_{x}^{t} \xi\right| \leqslant a|\xi| e^{-c t} \text { при } t \geqslant 0, \\ \left|\tilde{S}_{x}^{t^{\prime}} \xi\right| \geqslant b|\xi| e^{-c t} \text { при } t \leqslant 0, \\ \left|\tilde{S}_{x}^{t} \eta\right| \leqslant a|\eta| e^{c t} \text { при } t \leqslant 0, \\ \left|\tilde{S}_{x}^{t} \eta\right| \geqslant b|\eta| e^{c t} \text { при } t \geqslant 0 \end{gathered} \] с нек-рыми константами $a, b, c>0$, не зависящими от $x$. 2) Если $\left\{S^{t}\right\}-$ каскад (то есть время $t$ принимает целочисленные значения), то \[ T_{x} M=E_{x}^{s} \oplus E_{x}^{u} \] а если $\left\{S^{t}\right\}-$ поток (то есть время $t$ непрерывно), то \[ T_{x} M=E_{x}^{S} \oplus E_{x}^{u} \oplus E_{x}^{n} \] где $E_{x}^{n}$ - одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на $F$ не обращается в нуль). Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бывает целесообразно причислить к Г.м. такие положения равновесия потоков, для к-рых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси. Классич. пример Г. м. потока - периодич. траектория, для к-рой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых систем все фазовое пространство является Г. м. Много примеров Г. м. было обнаружено при изучении динамич. систем классич. происхождения (напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде Г. м. были введены С. Смейлом (S. Smale) в 1965 (см. [2]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамич. систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (см. также [3]). Лит.: [1] Кушниренко А. Г., Каток А. Б., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, в кн.: Девятая летняя математич. школа, Киев, 1972, с. 50-341; [2] Смейл С., «Успехи математич. наук», 1970, т. 25, в. 1, с. 113-185; [3] Ницки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975. Д. В. Аносов.