ГИПЕРФУНКЦИЯ

дальнейшее (вслед за обобщенной функцией) развитие классического понятия функции. Г. введены M. Сато (M. Sato) в конце 50-х гг. 20 в. Основой послужило аналитическое представление обобщенной функции с отказом от требования существования у представляющих аналитич. функций граничных значений в каком-либо смысле. Г. являются главным элементом нового раздела математики - микролокального анализа, тесно связанного с теорией линейных уравнений с частными производными и с комплексным анализом. Пусть $\mathscr{H}-$ пучок ростков аналитич. функций в $\mathbb{C}^{n}$. Пусть $O-$ область в $\mathbb{R}^{n}$ и $\Omega-$ ее комплексная окрестность (то есть область в $\mathbb{C}^{n}$ такая, что $\Omega \cap \mathbb{R}^{n}=0$ ). Линейное пространство $\mathscr{B}(O) \Gamma$. на $O$, по определению, есть $H_{O}(\Omega ; \mathscr{H})-n$-я группа когомологий комплексной области $\Omega$ с коэффициентами в пучке $\mathscr{H}$ и с носителями в вещественной области $O$. Согласно общим теоремам алгебраич. топологии, $\mathscr{B}(O)$ не зависит от выбора $\Omega$. Всякая $\Gamma$. $g \in \mathscr{B}(O)$ задается набором $\left\{f_{j} ; j=1, \ldots, N\right\}$ функций $f_{j}(z)$, аналитических в тубоидах $D_{j}(O)$, где число $N$ и тубоиды $D_{j}(O)$ зависят от $g$. Верно и обратное - всякий набор аналитич. функций указанного вида задает Г. Набор $\left\{f_{j} ; j=1, \ldots, N\right\}$ задает нулевую $\Gamma$. тогда и только тогда, когда существуют функции $f_{j k}(z)=-f_{k j}(z)$, аналитические в тубоидах $D_{j k}(O)=D_{k j}(O) \supset D_{j}(O) \cup D_{k}(O)$ и такие, что \[ f_{j}(z)=\sum_{k=1}^{N} f_{j k}(z), \quad z \in D_{j}(O), \quad j=1, \ldots, N \] (см. также Аналитическое представление обобщенной функции). Таким образом, $\mathscr{B}(O)$ можно отождествить с факторпространством $R(O) / Z(O)$, где линейное пространство $R(O)$ состоит из всех конечных наборов $\left\{f_{j}\right\}$ указанного вида, а его подпространство $Z(O)$ образовано наборами, задающими нулевую Г. Пространство $\mathscr{B}(O)$ не обладает разумной отделимой локально выпуклой топологией. Аналитич. представление обобщенных функций осуществляет вложение важнейших пространств обобщенных функций (включая Шварца распределения и ультрараспределения) в пространство $\Gamma$. Для подобласти $\omega$ области $O$ определено отображение сужения $\mathscr{B}(O) \rightarrow \mathscr{B}(\omega)$. Для $\Gamma . g \in \mathscr{B}(O)$, задаваемой набором $\left\{f_{j}\right\}$, где функции $f_{j}$ аналитичны в тубоидах $D_{j}(O)$, сужение $\left.g\right|_{\omega} \in \mathscr{B}(\omega)$ представляется набором $\left\{\left.f_{j}\right|_{\omega}\right\}$, где $\left.f_{j}\right|_{\omega}-$ сужения функций $f_{j}$ на тубоиды $D_{j}(\omega)=D_{j}(O) \cap \omega+i \mathbb{R}^{n}$. С такой операцией сужения $\Gamma$. образуют пучок, причем вялый. Первое означает, что Г. полностью определяются своими локальными сужениями и всякое семейство локально определенных попарно согласованных Г. «склеивается» в единую $\Gamma$. Второе означает, что каждая Г., изначально определенная в области $O$, продолжается на все $\mathbb{R}^{n}$. Носитель supp $g \Gamma . g \in \mathscr{B}(O)$ определяется как наименьшее замкнутое подмножество из $O$, вне к-рого $g$ равна нулю. Множество Г. $g \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, носители к-рых лежат в компакте $K \subset \mathbb{R}^{n}$, отождествляется с пространством вещественных аналитических функционалов $\mathcal{d}^{\prime}[K]$. Исходя из этого, в начале 60-х гг. А. Мартино (A. Martineau) дано эквивалентное определение $\Gamma$. как локально конечной суммы вещественных аналитич. функционалов. Всякая вещественная аналитич. функция $\Phi(x) \in \mathscr{A}(O)$ является мультипликатором на пространстве Г. $\mathscr{B}(O)$. Для $\Gamma$. $g$, задаваемой набором $\left\{f_{j}\right\}$, функции $f_{j}(z)$ аналитичны в тубоидах $D_{j}(O)$, произведение $\Phi g$ определяется набором $\left\{\Phi f_{j}\right\}$, где функции $\Phi(z) f_{j}(z)$ аналитичны в тубоидах $D_{j}(O) \cap \Omega, \Omega$ - комплексная окрестность области $O$, в к-рую, по определению, аналитически продолжается $\Phi(x)$. Для $\Gamma \cdot g \in \mathscr{B}(O)$, задаваемой набором $\left\{f_{j}\right\}$, частная производная $D_{v} g \in \mathscr{B}(O)$ определяется набором $\left\{D_{v} f_{j}\right\}$, где $D_{v}=\partial / \partial x_{v}, v=1, \ldots, n$. Наряду с дифференциальными операторами конечного порядка в пространстве Г. действуют и операторы бесконечного порядка \[ P(D)=\sum_{|\alpha|=0}^{\infty} c_{\alpha} D^{\alpha} \] где постоянные коэффициенты $c_{\alpha}$ удовлетворяют условию \[ \varlimsup_{|\alpha| \rightarrow \infty} \sqrt{\left|c_{\alpha}\right| \alpha !}=0 \] мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \quad D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, \alpha !=\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n} !$, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$.

дальнейшее (вслед за обобщенной функцией) развитие классического понятия функции. Г. введены M. Сато (M. Sato) в конце 50-х гг. 20 в. Основой послужило аналитическое представление обобщенной функции с отказом от требования существования у представляющих аналитич. функций граничных значений в каком-либо смысле. Г. являются главным элементом нового раздела математики - микролокального анализа, тесно связанного с теорией линейных уравнений с частными производными и с комплексным анализом. Пусть $\mathscr{H}-$ пучок ростков аналитич. функций в $\mathbb{C}^{n}$. Пусть $O-$ область в $\mathbb{R}^{n}$ и $\Omega-$ ее комплексная окрестность (то есть область в $\mathbb{C}^{n}$ такая, что $\Omega \cap \mathbb{R}^{n}=0$ ). Линейное пространство $\mathscr{B}(O) \Gamma$. на $O$, по определению, есть $H_{O}(\Omega ; \mathscr{H})-n$-я группа когомологий комплексной области $\Omega$ с коэффициентами в пучке $\mathscr{H}$ и с носителями в вещественной области $O$. Согласно общим теоремам алгебраич. топологии, $\mathscr{B}(O)$ не зависит от выбора $\Omega$. Всякая $\Gamma$. $g \in \mathscr{B}(O)$ задается набором $\left\{f_{j} ; j=1, \ldots, N\right\}$ функций $f_{j}(z)$, аналитических в тубоидах $D_{j}(O)$, где число $N$ и тубоиды $D_{j}(O)$ зависят от $g$. Верно и обратное - всякий набор аналитич. функций указанного вида задает Г. Набор $\left\{f_{j} ; j=1, \ldots, N\right\}$ задает нулевую $\Gamma$. тогда и только тогда, когда существуют функции $f_{j k}(z)=-f_{k j}(z)$, аналитические в тубоидах $D_{j k}(O)=D_{k j}(O) \supset D_{j}(O) \cup D_{k}(O)$ и такие, что \[ f_{j}(z)=\sum_{k=1}^{N} f_{j k}(z), \quad z \in D_{j}(O), \quad j=1, \ldots, N \] (см. также Аналитическое представление обобщенной функции). Таким образом, $\mathscr{B}(O)$ можно отождествить с факторпространством $R(O) / Z(O)$, где линейное пространство $R(O)$ состоит из всех конечных наборов $\left\{f_{j}\right\}$ указанного вида, а его подпространство $Z(O)$ образовано наборами, задающими нулевую Г. Пространство $\mathscr{B}(O)$ не обладает разумной отделимой локально выпуклой топологией. Аналитич. представление обобщенных функций осуществляет вложение важнейших пространств обобщенных функций (включая Шварца распределения и ультрараспределения) в пространство $\Gamma$. Для подобласти $\omega$ области $O$ определено отображение сужения $\mathscr{B}(O) \rightarrow \mathscr{B}(\omega)$. Для $\Gamma . g \in \mathscr{B}(O)$, задаваемой набором $\left\{f_{j}\right\}$, где функции $f_{j}$ аналитичны в тубоидах $D_{j}(O)$, сужение $\left.g\right|_{\omega} \in \mathscr{B}(\omega)$ представляется набором $\left\{\left.f_{j}\right|_{\omega}\right\}$, где $\left.f_{j}\right|_{\omega}-$ сужения функций $f_{j}$ на тубоиды $D_{j}(\omega)=D_{j}(O) \cap \omega+i \mathbb{R}^{n}$. С такой операцией сужения $\Gamma$. образуют пучок, причем вялый. Первое означает, что Г. полностью определяются своими локальными сужениями и всякое семейство локально определенных попарно согласованных Г. «склеивается» в единую $\Gamma$. Второе означает, что каждая Г., изначально определенная в области $O$, продолжается на все $\mathbb{R}^{n}$. Носитель supp $g \Gamma . g \in \mathscr{B}(O)$ определяется как наименьшее замкнутое подмножество из $O$, вне к-рого $g$ равна нулю. Множество Г. $g \in \mathscr{B}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, носители к-рых лежат в компакте $K \subset \mathbb{R}^{n}$, отождествляется с пространством вещественных аналитических функционалов $\mathcal{d}^{\prime}[K]$. Исходя из этого, в начале 60-х гг. А. Мартино (A. Martineau) дано эквивалентное определение $\Gamma$. как локально конечной суммы вещественных аналитич. функционалов. Всякая вещественная аналитич. функция $\Phi(x) \in \mathscr{A}(O)$ является мультипликатором на пространстве Г. $\mathscr{B}(O)$. Для $\Gamma$. $g$, задаваемой набором $\left\{f_{j}\right\}$, функции $f_{j}(z)$ аналитичны в тубоидах $D_{j}(O)$, произведение $\Phi g$ определяется набором $\left\{\Phi f_{j}\right\}$, где функции $\Phi(z) f_{j}(z)$ аналитичны в тубоидах $D_{j}(O) \cap \Omega, \Omega$ - комплексная окрестность области $O$, в к-рую, по определению, аналитически продолжается $\Phi(x)$. Для $\Gamma \cdot g \in \mathscr{B}(O)$, задаваемой набором $\left\{f_{j}\right\}$, частная производная $D_{v} g \in \mathscr{B}(O)$ определяется набором $\left\{D_{v} f_{j}\right\}$, где $D_{v}=\partial / \partial x_{v}, v=1, \ldots, n$. Наряду с дифференциальными операторами конечного порядка в пространстве Г. действуют и операторы бесконечного порядка \[ P(D)=\sum_{|\alpha|=0}^{\infty} c_{\alpha} D^{\alpha} \] где постоянные коэффициенты $c_{\alpha}$ удовлетворяют условию \[ \varlimsup_{|\alpha| \rightarrow \infty} \sqrt{\left|c_{\alpha}\right| \alpha !}=0 \] мультииндекс $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \quad D^{\alpha}=D_{1}^{\alpha_{1}} \ldots D_{n}^{\alpha_{n}}, \alpha !=\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n} !$, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$.