ГОЛДЕНА-ТОМПСОНА НЕРАВЕНСТВО

неравенство для положительных самосопряженных операторов, определяемое следующим образом. Пусть $H$ - сепарабельное гильбертово пространство, а $\boldsymbol{E}_{p}(H)$ - банахово пространство компактных операторов с конечной $\|\cdot\|_{p}$-нормой: \[ \|A\|_{p}=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n}^{p}(A)\right)^{1 / p} \] где $\lambda_{n}(A)$ - собственные значения оператора $|A|=\left(A^{*} A\right)^{1 / 2}$. Если $A$ и $B$ - положительные самосопряженные операторы, оператор $A+B$ в существенном сопряжен на их общей области определения $D(A) \cap D(B)$ и, по крайней мере, один из них порождает гиббсовскую полугруппу, тогда \[ \exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\} \in \boldsymbol{S}_{1}(H) \] и имеет место неравенство Голдена - Томпсона (см. [1], [2]): $\operatorname{tr} \exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\} \leqslant \operatorname{tr}[\exp (-A) \exp (-B)]$, что эквивалентно \[ \begin{gathered} \left\|\exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\}\right\|_{1} \leqslant \\ \leqslant\|\exp (-A / 2) \exp (-B) \exp (-A / 2)\|_{1} . \end{gathered} \] Обобщение Г.- Т. н. для $p>1$: \[ \begin{gathered} \left\|\exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\}\right\|_{p} \leqslant \\ \leqslant \exp (-A / 2) \exp (-B) \exp (-A / 2) \|_{p} \end{gathered} \] содержится в работе [3], см. также [4]. Для $p=\infty$ это неравенство известно как лемма Сигала (см. [4]). С помощью одного неравенства Вейля Г.- Т. н. можно обобщить на случай произвольной функции $\varphi$ такой, что отображение $t \rightarrow \varphi\left(e^{t}\right)$ выпукло (см. [4]): \[ \begin{gathered} \operatorname{tr} \varphi\left[\exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\}\right] \leqslant \\ \leqslant \operatorname{tr} \varphi[\exp (-A / 2) \exp (-B) \exp (-A / 2)] . \end{gathered} \] Лит.: [1] Golden S., «Phys. Rev.», 1965, v. 137B, № 4, p. 1127-28; [2] Thompson C., «J. Math. Phys.», 1965, v. 6, № 11, p. 181-213; [3] Ruskai M. B., «Comm. Math. Phys.», 1972, v. 26, № 4, p. 280-89; [4] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 4: Анализ операторов, пер. с англ., М., 1982. В. А. Загребнов.

неравенство для положительных самосопряженных операторов, определяемое следующим образом. Пусть $H$ - сепарабельное гильбертово пространство, а $\boldsymbol{E}_{p}(H)$ - банахово пространство компактных операторов с конечной $\|\cdot\|_{p}$-нормой: \[ \|A\|_{p}=\left(\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n}^{p}(A)\right)^{1 / p} \] где $\lambda_{n}(A)$ - собственные значения оператора $|A|=\left(A^{*} A\right)^{1 / 2}$. Если $A$ и $B$ - положительные самосопряженные операторы, оператор $A+B$ в существенном сопряжен на их общей области определения $D(A) \cap D(B)$ и, по крайней мере, один из них порождает гиббсовскую полугруппу, тогда \[ \exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\} \in \boldsymbol{S}_{1}(H) \] и имеет место неравенство Голдена - Томпсона (см. [1], [2]): $\operatorname{tr} \exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\} \leqslant \operatorname{tr}[\exp (-A) \exp (-B)]$, что эквивалентно \[ \begin{gathered} \left\|\exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\}\right\|_{1} \leqslant \\ \leqslant\|\exp (-A / 2) \exp (-B) \exp (-A / 2)\|_{1} . \end{gathered} \] Обобщение Г.- Т. н. для $p>1$: \[ \begin{gathered} \left\|\exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\}\right\|_{p} \leqslant \\ \leqslant \exp (-A / 2) \exp (-B) \exp (-A / 2) \|_{p} \end{gathered} \] содержится в работе [3], см. также [4]. Для $p=\infty$ это неравенство известно как лемма Сигала (см. [4]). С помощью одного неравенства Вейля Г.- Т. н. можно обобщить на случай произвольной функции $\varphi$ такой, что отображение $t \rightarrow \varphi\left(e^{t}\right)$ выпукло (см. [4]): \[ \begin{gathered} \operatorname{tr} \varphi\left[\exp \left\{-(A+B)^{\sim}\right\}\right] \leqslant \\ \leqslant \operatorname{tr} \varphi[\exp (-A / 2) \exp (-B) \exp (-A / 2)] . \end{gathered} \] Лит.: [1] Golden S., «Phys. Rev.», 1965, v. 137B, № 4, p. 1127-28; [2] Thompson C., «J. Math. Phys.», 1965, v. 6, № 11, p. 181-213; [3] Ruskai M. B., «Comm. Math. Phys.», 1972, v. 26, № 4, p. 280-89; [4] Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 4: Анализ операторов, пер. с англ., М., 1982. В. А. Загребнов.