ГОЛОГРАФИЯ

возможность записи и воспроизведения полей. Г. обнаружена Д. Габором [1] для записи в плоской светочувствительной среде. Бурное развитие Г. последовало после того, как в 1962-64 были применены лазер и внеосевая схема записи. Двумерная Г. оказалась лишь частным случаем трехмерной, обладающей более полным комплексом отображаемых свойств (см. [2]). В многочисленных разделах Г. изучаются типы и виды голограмм, формирование изображений, аппаратура, методы, теория спеклона и т. д. (см. [3]-[5]). Принципы Г. подробно изложены в физич. литературе, однако строгое описание явлений, происходящих при плоской Г., сталкивается с трудностями, связанными с отсутствием математич. постановки задачи рассеяния волн на полупрозрачном экране, что имеет прямое отношение к проблеме «черного тела» (см. [6]). Поставить задачу введением каких-либо условий на экране не удается. Эту трудность можно преодолеть с помощью введения подходящих условий поглощения на экране (см. [7]). С их помощью определяется характеристика пропускания голограммы и рассчитывается рассеянная волна. При этом применяется теория коротковолновых асимптотик и фронтов осцилляций по параметру $\lambda=c / \omega, \lambda \rightarrow 0$ (физически - длина волны $\lambda$ много меньше характерного размера $L$). Пусть оператор $\Gamma^{S} \equiv \Gamma_{\lambda}^{S}$ определен формулой \[ \Gamma^{S}(\psi)=\int_{S} G(x, y) M\left(n_{y}\right) \psi(y) d \sigma(y) . \] Здесь $n_{y}-$ внешняя нормаль к поверхности $S, d \sigma-$ элемент площади поверхности, $G=G_{\lambda}$ обозначает удовлетворяющее условиям излучения левое фундаментальное решение для системы Максвелла, \[ M(p)=\left\|\begin{array}{cc} 0 & -\Lambda(p) \\ \Lambda(p) & 0 \end{array}\right\| \] где $\Lambda(p)=[p \times \ldots]$ - матрица векторного умножения на $p \in \mathbb{R}^{3}$. На экран падает волна \[ \Phi(t)=\int \varphi_{\omega} \exp (-i \omega t) d \omega . \] Условие А. Волна $\Phi_{+}$, прошедшая экран, задается формулой \[ \Phi_{+}=\int \Gamma_{c / \omega}^{S}\left(f_{\omega} \varphi_{\omega}\right) \exp (-i \omega t) d \omega, \] где $f_{\omega}-$ скалярная функция на экране (характеристика пропускания на частоте $\omega)$. Область, где $f_{\omega}=1$, прозрачна для волн с частотой $\omega$, а область, где $f_{\omega}=0$, абсолютно поглощает. Пусть экран $S$ получен как позитивный отпечаток (то есть на $S$ помещается светочувствительный материал и освещается световой волной $\Phi$; по негативному отпечатку изготовляется позитивный). Условие Б. Характеристика пропускания полученного экрана имеет вид: \[ f_{\omega}=\rho^{1}(y) F_{\omega}\left(\int \rho^{2}(t) I(y, t) d t\right), \] где $I=\Phi \Phi^{*}-$ интенсивность светового импульса, функции $\rho^{1}, \rho^{2} \in C_{0}^{\infty}$ описывают переходные процессы. Предполагается, что существует интервал, где функция $F_{\omega}$ линейна. Ниже для простоты рассматриваются лишь монохроматич. волны с частотой $\omega$. Множитель $\exp (-i \omega t)$ всюду опущен. Сигнальная волна $\psi$, несущая информацию, является суммой волн, распространяющихся по направлениям, близким к фиксированному направлению $n_{0}$. Помимо сигнальной волны на экран $S$ с той же стороны направляется когерентная ей опорная волна $\varphi$, являющаяся суммой трех плоских волн \[ \varphi_{j} \exp \left(i\left\langle n_{j} x\right\rangle / \lambda\right), j=1,2,3 . \] Направления $n_{j}$ взаимно ортогональны и наклонены к $S$ под одинаковым углом. Поляризация этих трех волн фиксируется так, чтобы компонента напряженности электрич. поля в волне $\varphi_{1}$ была коллинеарна вектору $\boldsymbol{n}_{3}$, а в волнах $\varphi_{2}$ и $\varphi_{3}-$ векторам $\boldsymbol{n}_{1}$ и $\boldsymbol{n}_{2}$ соответственно. Полученный после фотографирования волны $\psi+\varphi$ позитивный отпечаток (голограмма) имеет в силу условия Б характеристику пропускания где $\rho^{1}=1$ на $S$. \[ f=\rho^{1} F_{\omega}\left(\int \rho^{2} d t(\varphi+\psi)\left(\varphi^{*}+\psi^{*}\right)\right) \] Для восстановления записанной на голограмме информации позитивный отпечаток помещается на прежнее место и направляется опорная волна $е \exp (i \delta)$, возможно с нек-рым сдвигом фазы $\delta$. В силу условия А за голограммой будет распространяться волна \[ \psi_{+}=\Gamma^{S}\left(f\left(\psi_{-}+\varphi \exp (i \delta)\right)\right) \] где $\psi_{-}$- отраженная волна. Основной математич. задачей Г. является сравнение волны $\psi_{+}$ с исходным сигналом $\psi$. Теорема (см. [7]). Существует такой конус с осью $n_{0}$, что если носитель осцилляций сигнальной волны лежит в нем, то на линейном участке своей характеристики пропускания плоская голограмма с точностью до умножения на комплексную константу восстанавливает каждую монохроматич. компоненту исходного сигнала, в том числе и ее поляризацию, с точностью до $O\left((\lambda / L)^{n}\right), n>0$ - любое Таким образом, плоская голограмма позволяет восстанавливать направление распространения и поляризацию волны. Использование объемной Г. с нек-рыми специальными фотоэмульсиями позволяет восстанавливать также волны во времени (см. [5]). Лит.: [1] Gabor D., "Proc. Roy. Soc.», 1949, v. A197, p. 454-87; [2] Денисюк Ю. Н., Принципы голографии, Л., 1978; [3] Оптическая голография, т. 1-2, пер. с англ., М., 1982; [4] Зельдович Б. Я., Пилипецкий Н. Ф., Шкунов В. В., Обращение волнового фронта, М., 1985; [5] Ребане К. К., «Успехи физич. наук», 1986, т. 148, в. 3, с. 542-45; [6] Борн М., Вольф Э., Основы оптики, 2 изд., пер. с англ., М., 1973; [7] Карасев М. В., Маслов В. П., «Доклады АН СССР», 1985, т. 285, № 5, с. 1055-58. А. А. Перескоков.

возможность записи и воспроизведения полей. Г. обнаружена Д. Габором [1] для записи в плоской светочувствительной среде. Бурное развитие Г. последовало после того, как в 1962-64 были применены лазер и внеосевая схема записи. Двумерная Г. оказалась лишь частным случаем трехмерной, обладающей более полным комплексом отображаемых свойств (см. [2]). В многочисленных разделах Г. изучаются типы и виды голограмм, формирование изображений, аппаратура, методы, теория спеклона и т. д. (см. [3]-[5]). Принципы Г. подробно изложены в физич. литературе, однако строгое описание явлений, происходящих при плоской Г., сталкивается с трудностями, связанными с отсутствием математич. постановки задачи рассеяния волн на полупрозрачном экране, что имеет прямое отношение к проблеме «черного тела» (см. [6]). Поставить задачу введением каких-либо условий на экране не удается. Эту трудность можно преодолеть с помощью введения подходящих условий поглощения на экране (см. [7]). С их помощью определяется характеристика пропускания голограммы и рассчитывается рассеянная волна. При этом применяется теория коротковолновых асимптотик и фронтов осцилляций по параметру $\lambda=c / \omega, \lambda \rightarrow 0$ (физически - длина волны $\lambda$ много меньше характерного размера $L$). Пусть оператор $\Gamma^{S} \equiv \Gamma_{\lambda}^{S}$ определен формулой \[ \Gamma^{S}(\psi)=\int_{S} G(x, y) M\left(n_{y}\right) \psi(y) d \sigma(y) . \] Здесь $n_{y}-$ внешняя нормаль к поверхности $S, d \sigma-$ элемент площади поверхности, $G=G_{\lambda}$ обозначает удовлетворяющее условиям излучения левое фундаментальное решение для системы Максвелла, \[ M(p)=\left\|\begin{array}{cc} 0 & -\Lambda(p) \\ \Lambda(p) & 0 \end{array}\right\| \] где $\Lambda(p)=[p \times \ldots]$ - матрица векторного умножения на $p \in \mathbb{R}^{3}$. На экран падает волна \[ \Phi(t)=\int \varphi_{\omega} \exp (-i \omega t) d \omega . \] Условие А. Волна $\Phi_{+}$, прошедшая экран, задается формулой \[ \Phi_{+}=\int \Gamma_{c / \omega}^{S}\left(f_{\omega} \varphi_{\omega}\right) \exp (-i \omega t) d \omega, \] где $f_{\omega}-$ скалярная функция на экране (характеристика пропускания на частоте $\omega)$. Область, где $f_{\omega}=1$, прозрачна для волн с частотой $\omega$, а область, где $f_{\omega}=0$, абсолютно поглощает. Пусть экран $S$ получен как позитивный отпечаток (то есть на $S$ помещается светочувствительный материал и освещается световой волной $\Phi$; по негативному отпечатку изготовляется позитивный). Условие Б. Характеристика пропускания полученного экрана имеет вид: \[ f_{\omega}=\rho^{1}(y) F_{\omega}\left(\int \rho^{2}(t) I(y, t) d t\right), \] где $I=\Phi \Phi^{*}-$ интенсивность светового импульса, функции $\rho^{1}, \rho^{2} \in C_{0}^{\infty}$ описывают переходные процессы. Предполагается, что существует интервал, где функция $F_{\omega}$ линейна. Ниже для простоты рассматриваются лишь монохроматич. волны с частотой $\omega$. Множитель $\exp (-i \omega t)$ всюду опущен. Сигнальная волна $\psi$, несущая информацию, является суммой волн, распространяющихся по направлениям, близким к фиксированному направлению $n_{0}$. Помимо сигнальной волны на экран $S$ с той же стороны направляется когерентная ей опорная волна $\varphi$, являющаяся суммой трех плоских волн \[ \varphi_{j} \exp \left(i\left\langle n_{j} x\right\rangle / \lambda\right), j=1,2,3 . \] Направления $n_{j}$ взаимно ортогональны и наклонены к $S$ под одинаковым углом. Поляризация этих трех волн фиксируется так, чтобы компонента напряженности электрич. поля в волне $\varphi_{1}$ была коллинеарна вектору $\boldsymbol{n}_{3}$, а в волнах $\varphi_{2}$ и $\varphi_{3}-$ векторам $\boldsymbol{n}_{1}$ и $\boldsymbol{n}_{2}$ соответственно. Полученный после фотографирования волны $\psi+\varphi$ позитивный отпечаток (голограмма) имеет в силу условия Б характеристику пропускания где $\rho^{1}=1$ на $S$. \[ f=\rho^{1} F_{\omega}\left(\int \rho^{2} d t(\varphi+\psi)\left(\varphi^{*}+\psi^{*}\right)\right) \] Для восстановления записанной на голограмме информации позитивный отпечаток помещается на прежнее место и направляется опорная волна $е \exp (i \delta)$, возможно с нек-рым сдвигом фазы $\delta$. В силу условия А за голограммой будет распространяться волна \[ \psi_{+}=\Gamma^{S}\left(f\left(\psi_{-}+\varphi \exp (i \delta)\right)\right) \] где $\psi_{-}$- отраженная волна. Основной математич. задачей Г. является сравнение волны $\psi_{+}$ с исходным сигналом $\psi$. Теорема (см. [7]). Существует такой конус с осью $n_{0}$, что если носитель осцилляций сигнальной волны лежит в нем, то на линейном участке своей характеристики пропускания плоская голограмма с точностью до умножения на комплексную константу восстанавливает каждую монохроматич. компоненту исходного сигнала, в том числе и ее поляризацию, с точностью до $O\left((\lambda / L)^{n}\right), n>0$ - любое Таким образом, плоская голограмма позволяет восстанавливать направление распространения и поляризацию волны. Использование объемной Г. с нек-рыми специальными фотоэмульсиями позволяет восстанавливать также волны во времени (см. [5]). Лит.: [1] Gabor D., "Proc. Roy. Soc.», 1949, v. A197, p. 454-87; [2] Денисюк Ю. Н., Принципы голографии, Л., 1978; [3] Оптическая голография, т. 1-2, пер. с англ., М., 1982; [4] Зельдович Б. Я., Пилипецкий Н. Ф., Шкунов В. В., Обращение волнового фронта, М., 1985; [5] Ребане К. К., «Успехи физич. наук», 1986, т. 148, в. 3, с. 542-45; [6] Борн М., Вольф Э., Основы оптики, 2 изд., пер. с англ., М., 1973; [7] Карасев М. В., Маслов В. П., «Доклады АН СССР», 1985, т. 285, № 5, с. 1055-58. А. А. Перескоков.