ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ УРАВНЕНИЯ

Уравнения, описывающие свойства поля тяготения, то есть универсального притяжения между любыми телами, определяемого массой этих тел. Впервые уравнение, описывающее гравитационное взаимодействие двух точечных тел, было предложено И. Ньютоном (I. Newton), строго говоря, вне рамок теории поля. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила, действующая со стороны первого тела на второе для точечных тел, равна \[ F_{12}=-\gamma \frac{m_{1} m_{2} r_{2}}{r_{12}^{3}} \] где $\boldsymbol{r}_{12}$ - радиус-вектор, исходящий из точки, в к-рой расположено первое тело, в точку расположения второго тела, $r_{12}-$ его модуль, $m_{1}$ и $m_{2}-$ массы тел. Коэффициент $\gamma$ не зависит от массы тел и расстояния между ними и является универсальной гравитационной постоянной, равной приблизительно $6,67 \cdot 10^{-8} \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{r}^{-1}$ сек $^{-2}$. Представив (1) в виде \[ \boldsymbol{F}=-\gamma m_{1} \operatorname{grad} \varphi \] можно ввести в теорию гравитационный потенциал $\varphi$ точечного тела, равный \[ \varphi=-\gamma \frac{m}{r}, \] где $m$ - масса тела, создающего гравитационное поле, $r$ расстояние до этого тела. Используя принцип суперпозиции, согласно к-рому гравитационный потенциал нескольких тел равен сумме гравитационных потенциалов, создаваемых каждым из этих тел по отдельности, и нек-рые другие естественные предположения, из (3) можно получить уравнение Пуассона \[ \Delta \varphi=4 \pi \gamma \rho(\boldsymbol{r}), \] к-рому подчиняется гравитационный потенциал $\varphi$, создаваемый распределением вещества с плотностью $\rho(\boldsymbol{r})$. Уравнение Пуассона является одним из основных уравнений математич. физики, на опыте изучения к-рого в значительной степени сформировался аппарат этой науки. При исследовании уравнения (4) можно показать, в частности, что потенциал вне центрально симметричного распределения вещества совпадает с потенциалом точечного тела, помещенного в центре распределения и имеющего массу, равную суммарной массе распределения. Силы тяготения играют тем большую роль, чем больше масштабы рассматриваемых объектов. Так, гравитационная сила, действующая между двумя электронами, в $5 \cdot 10^{42}$ раз меньше электростатич. сил, действующих между ними. Однако в мире небесных тел, для к-рых электрич. заряды с высокой точностью компенсируют друг друга, сила тяготения является главной силой, поскольку силы тяготения являются исключительно силами притяжения и не могут компенсировать друг друга. Закон всемирного тяготения и вся ньютоновская теория гравитации с огромной точностью согласуются с экспериментами, лабораторными и космич. наблюдениями. Учет поправок к этому закону необходим лишь в сравнительно специальных случаях, напр. при исследовании движения планеты Меркурий или при решении тех задач космич. навигации, где необходима особо высокая точность расчета. Однако внимательное исследование уравнения Пуассона вскрывает определенные внутренние трудности. Напр. не вполне ясно, как следует ставить задачи для уравнения (4) в бесконечном пространстве в том случае, когда распределение плотности $\rho$ не убывает на бесконечности (так наз. гравитационный парадокс). Уравнение Пуассона, являясь уравнением эллиптич. типа, описывает распространение взаимодействий с бесконечной скоростью (дальнодействие) и не вписывается в рамки представлений специальной теории относительности. Ординарным способом решения этих трудностей было бы создание релятивистской теории тяготения в плоском пространстве по образцу электродинамики. Уравнения такой теории можно записать в виде \[ -\square \gamma_{i k}=\frac{16 \pi \gamma}{c^{4}} \tau_{i k} \] где $\square$ - оператор Д'Аламбера, $\gamma_{i k}-$ тензор, описывающий гравитационное поле, $\tau_{i k}-$ тензор источников гравитационного поля, $c$ - скорость света. Необходимость тензорной релятивистской теории тяготения является наблюдательным фактом: попытка ввести векторный потенциал гравитационного поля, одна из координат к-рого в нерелятивистском пределе совпадает с потенциалом $\varphi$, дает количественно неправильное предсказание для аномалий движения Меркурия. Фактически развитие науки пошло по другому пути и А. Эйнштейн (A. Einstein), отталкиваясь от равенства гравитационной и инертной массы (принцип эквивалентности), создал общую теорию относительнос т и, в к-рой гравитационное взаимодействие описывается на языке геометрии искривленного пространства-времени. В рамках этой теории уравнения типа (5) получаются в так наз. постньютоновских приближениях слабого гравитационного поля, учитывающих, однако, релятивистские эффекты. В рамки постньютоновских приближений можно уложить основные наблюдательные данные, количественно фиксирующие отклонения от предсказаний ньютоновской теории тяготения, напр. в уже упоминавшиеся аномалии в движении Меркурия, а также многие гравитационные эффекты, к-рые еще лежат за гранью наблюдательных возможностей, но существование к-рых представляется несомненным, напр. гравитационное излучение. Однако мощное идейное воздействие общей теории относительности на все развитие современной космологии и астрофизики, а также теория элементарных частиц позволило связать в единую систему многие явления, не имеющие гравитационной природы в узком смысле этого слова: реликтовое космологич. излучение, красное смещение в спектрах далеких астрономич. объектов и др. Поэтому сейчас можно в определенном смысле говорить о наблюдательном подтверждении релятивистских представлений в теории тяготения именно в форме общей теории относительности. Строго говоря, общая теория относительности не содержит самого понятия гравитационного поля и, следовательно, его уравнений. Вместо этого возникает представление о 4-мерном искривленном пространстве-времени, в к-ром свободные пробные частицы движутся по времениподобным (и изотропным) геодезическим. При этом под свободными понимаются частицы, не испытывающие иных воздействий, кроме гравитационных. В каком-то смысле геометрич. язык общей теории относительности сопоставим с описанием явления гравитации в физике Аристотеля, где имелось представление об абсолютном верхе и абсолютном низе, то есть о неизотропном пространстве. Роль уравнений гравитационного поля в общей теории относительности играют уравнения Эйнштейна, устанавливающие связь между кривизной пространства-времени и свойствами заполняющего его вещества и излучений. Эти уравнения имеют вид \[ R_{i k}-\frac{1}{2} g_{i k} R=\frac{8 \pi \gamma}{c^{4}} T_{i k} \] где $R_{i k}$ - тензор Риччи, выражающийся через компоненты метрич. тензора $g_{i k}$ и их первые и вторые производные, $R-$ свертка тензора Риччи, называемая скалярной кривизной, $T_{i k}-$ тензор энергии-импульса вещества и всех физич. полей, кроме гравитационного, тензор $T_{i k}$ также может включать в свою структуру компоненты $g_{i k}$. Уравнения Эйнштейна можно получить из вариационного принципа, в к-ром действие для гравитационного поля имеет вид \[ S_{g}=-\frac{c^{3}}{16 \pi \gamma} \int R \sqrt{-g} d \Omega \] впервые предложенный Д. Гильбертом (D. Hilbert). Здесь $g$ - определитель метрич. тензора, $d \Omega$ - элемент 4-мерного объема. Уравнения Эйнштейна, в отличие от уравнения Пуассона, нелинейны, поэтому в общей теории относительности не выполнен принцип суперпозиции. Физически это означает, что гравитационное поле имеет нек-рую энергию, причем масса, соответствующая этой энергии, в свою очередь создает гравитационное поле. Важным отличием уравнений Эйнштейна от других полевых уравнений является то, что уравнения движения являются следствием уравнений поля. Уравнения, описывающие физич. поля, определяющие тензор энергии-импульса, напр. электромагнитное поле, не являются следствием уравнений Эйнштейна, и их нужно добавить к уравнениям (6). В настоящее время известно много точных решений уравнений Эйнштейна, обладающих различными симметриями и соответствующих различным видам тензора энергии-импульса. Имеются определенные представления о структуре общего решения этих уравнений. Разработана постановка ряда задач математич. физики для уравнений Эйнштейна и прежде всего задачи Коши. С точки зрения представлений задачи Коши уравнения Эйнштейна являются системой уравнений гиперболич. типа, что соответствует конечности скорости распространения гравитационного взаимодействия. Многие конкретные решения уравнений Эйнштейна получили ясную физич. интерпретацию. Однако система понятий общей теории относительности очень сильно отличается от понятийного аппарата всей предшествующей физики. Напр., одновременно с решением уравнений (6) строится та область, в к-рой они должны быть решены. Хотя во многих конкретных случаях удается сформулировать законы сохранения энергии и импульса с учетом гравитационного поля (напр., для островного распределения вещества, плотность к-рого быстро спадает на бесконечности), в полной мере представление о законах сохранения не является адекватным для общей теории относительности. Эта теория содержит также внутренние ограничения своей применимости: из многих первоначально регулярных распределений вещества за конечное собственное время образуются сингулярности, в к-рых такие физич. величины, как плотность, температура и т. п., могут обращаться в бесконечность. Вблизи сингулярностей общая теория относительности в обычном смысле неприменима. Наконец, представления нелинейной общей теории относительности несовместимы с линейной квантовой механикой. В процессе развития общей теории относительности и физики элементарных частиц постепенно происходит их взаимное сближение, в ходе к-рого решаются отмеченные трудности. В частности, в рамках общей теории относительности удалось описать физич. поля со спином, для чего потребовалось ввести представление о пространстве-времени как о пространстве аффинной связности с кручением. Рассматриваются представления о финслеровом пространстве-времени. Была развита теория рождения частиц в гравитационном поле и сформулированы квантовомеханич. поправки к общей теории относительности (одним из первых такие поправки предложил А. Д. Сахаров). Представление о так наз. космологической постоянной удалось связать с современными представлениями о физич. вакууме. В рамках теории с космологич. постоянной уравнения Эйнштейна принимают вид \[ R_{i k}-\frac{1}{2} g_{i k} R-\Lambda g_{i k}=\frac{8 \pi \gamma}{c^{4}} T_{i k}, \] где $\Lambda$ - величина, характеризующая свойства физич. вакуума. В рамках теории суперпространства удалось нащупать точки соприкосновения в представлениях об искривленном пространстве-времени и линейном пространстве состояний. Развиваются многомерные теории элементарных частиц, являющиеся далекими обобщениями Калуцы-Клейна теории. В этих теориях кроме трех пространственных и одной временной координаты имеются дополнительные внутренние размерности, с помощью к-рых описываются свойства элементарных частиц. Вдали от космологич. сингулярности эти дополнительные размерности компактифицированы, свернуты до ультрамалых размеров и прямо нам не заметны. Предлагаются различные нестандартные теории тяготения, включающие новые, ненаблюдаемые сейчас на опыте физич. поля, напр. теория Бранса-Дикке с дополнительным скалярным полем. В теории элементарных частиц развиваются теории калибровочных полей и Янга-Миллса полей, представления к-рых перекликаются с представлениями общей теории относительности. Наконец, постепенно вырисовываются контуры так наз. великого объединения взаимодействий, то есть теории поля, объединяющей все известные взаимодействия, включая гравитационное, наподобие того, как электродинамика объединяет электричество и магнетизм. Развитие этих теорий в значительной степени ограничивается тем, что их эффекты очень слабы в окружающем нас мире и проявляются либо на очень ранних стадиях развития Вселенной, либо при исследовании процессов при сверхвысоких энергиях.

Уравнения, описывающие свойства поля тяготения, то есть универсального притяжения между любыми телами, определяемого массой этих тел. Впервые уравнение, описывающее гравитационное взаимодействие двух точечных тел, было предложено И. Ньютоном (I. Newton), строго говоря, вне рамок теории поля. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила, действующая со стороны первого тела на второе для точечных тел, равна \[ F_{12}=-\gamma \frac{m_{1} m_{2} r_{2}}{r_{12}^{3}} \] где $\boldsymbol{r}_{12}$ - радиус-вектор, исходящий из точки, в к-рой расположено первое тело, в точку расположения второго тела, $r_{12}-$ его модуль, $m_{1}$ и $m_{2}-$ массы тел. Коэффициент $\gamma$ не зависит от массы тел и расстояния между ними и является универсальной гравитационной постоянной, равной приблизительно $6,67 \cdot 10^{-8} \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{r}^{-1}$ сек $^{-2}$. Представив (1) в виде \[ \boldsymbol{F}=-\gamma m_{1} \operatorname{grad} \varphi \] можно ввести в теорию гравитационный потенциал $\varphi$ точечного тела, равный \[ \varphi=-\gamma \frac{m}{r}, \] где $m$ - масса тела, создающего гравитационное поле, $r$ расстояние до этого тела. Используя принцип суперпозиции, согласно к-рому гравитационный потенциал нескольких тел равен сумме гравитационных потенциалов, создаваемых каждым из этих тел по отдельности, и нек-рые другие естественные предположения, из (3) можно получить уравнение Пуассона \[ \Delta \varphi=4 \pi \gamma \rho(\boldsymbol{r}), \] к-рому подчиняется гравитационный потенциал $\varphi$, создаваемый распределением вещества с плотностью $\rho(\boldsymbol{r})$. Уравнение Пуассона является одним из основных уравнений математич. физики, на опыте изучения к-рого в значительной степени сформировался аппарат этой науки. При исследовании уравнения (4) можно показать, в частности, что потенциал вне центрально симметричного распределения вещества совпадает с потенциалом точечного тела, помещенного в центре распределения и имеющего массу, равную суммарной массе распределения. Силы тяготения играют тем большую роль, чем больше масштабы рассматриваемых объектов. Так, гравитационная сила, действующая между двумя электронами, в $5 \cdot 10^{42}$ раз меньше электростатич. сил, действующих между ними. Однако в мире небесных тел, для к-рых электрич. заряды с высокой точностью компенсируют друг друга, сила тяготения является главной силой, поскольку силы тяготения являются исключительно силами притяжения и не могут компенсировать друг друга. Закон всемирного тяготения и вся ньютоновская теория гравитации с огромной точностью согласуются с экспериментами, лабораторными и космич. наблюдениями. Учет поправок к этому закону необходим лишь в сравнительно специальных случаях, напр. при исследовании движения планеты Меркурий или при решении тех задач космич. навигации, где необходима особо высокая точность расчета. Однако внимательное исследование уравнения Пуассона вскрывает определенные внутренние трудности. Напр. не вполне ясно, как следует ставить задачи для уравнения (4) в бесконечном пространстве в том случае, когда распределение плотности $\rho$ не убывает на бесконечности (так наз. гравитационный парадокс). Уравнение Пуассона, являясь уравнением эллиптич. типа, описывает распространение взаимодействий с бесконечной скоростью (дальнодействие) и не вписывается в рамки представлений специальной теории относительности. Ординарным способом решения этих трудностей было бы создание релятивистской теории тяготения в плоском пространстве по образцу электродинамики. Уравнения такой теории можно записать в виде \[ -\square \gamma_{i k}=\frac{16 \pi \gamma}{c^{4}} \tau_{i k} \] где $\square$ - оператор Д'Аламбера, $\gamma_{i k}-$ тензор, описывающий гравитационное поле, $\tau_{i k}-$ тензор источников гравитационного поля, $c$ - скорость света. Необходимость тензорной релятивистской теории тяготения является наблюдательным фактом: попытка ввести векторный потенциал гравитационного поля, одна из координат к-рого в нерелятивистском пределе совпадает с потенциалом $\varphi$, дает количественно неправильное предсказание для аномалий движения Меркурия. Фактически развитие науки пошло по другому пути и А. Эйнштейн (A. Einstein), отталкиваясь от равенства гравитационной и инертной массы (принцип эквивалентности), создал общую теорию относительнос т и, в к-рой гравитационное взаимодействие описывается на языке геометрии искривленного пространства-времени. В рамках этой теории уравнения типа (5) получаются в так наз. постньютоновских приближениях слабого гравитационного поля, учитывающих, однако, релятивистские эффекты. В рамки постньютоновских приближений можно уложить основные наблюдательные данные, количественно фиксирующие отклонения от предсказаний ньютоновской теории тяготения, напр. в уже упоминавшиеся аномалии в движении Меркурия, а также многие гравитационные эффекты, к-рые еще лежат за гранью наблюдательных возможностей, но существование к-рых представляется несомненным, напр. гравитационное излучение. Однако мощное идейное воздействие общей теории относительности на все развитие современной космологии и астрофизики, а также теория элементарных частиц позволило связать в единую систему многие явления, не имеющие гравитационной природы в узком смысле этого слова: реликтовое космологич. излучение, красное смещение в спектрах далеких астрономич. объектов и др. Поэтому сейчас можно в определенном смысле говорить о наблюдательном подтверждении релятивистских представлений в теории тяготения именно в форме общей теории относительности. Строго говоря, общая теория относительности не содержит самого понятия гравитационного поля и, следовательно, его уравнений. Вместо этого возникает представление о 4-мерном искривленном пространстве-времени, в к-ром свободные пробные частицы движутся по времениподобным (и изотропным) геодезическим. При этом под свободными понимаются частицы, не испытывающие иных воздействий, кроме гравитационных. В каком-то смысле геометрич. язык общей теории относительности сопоставим с описанием явления гравитации в физике Аристотеля, где имелось представление об абсолютном верхе и абсолютном низе, то есть о неизотропном пространстве. Роль уравнений гравитационного поля в общей теории относительности играют уравнения Эйнштейна, устанавливающие связь между кривизной пространства-времени и свойствами заполняющего его вещества и излучений. Эти уравнения имеют вид \[ R_{i k}-\frac{1}{2} g_{i k} R=\frac{8 \pi \gamma}{c^{4}} T_{i k} \] где $R_{i k}$ - тензор Риччи, выражающийся через компоненты метрич. тензора $g_{i k}$ и их первые и вторые производные, $R-$ свертка тензора Риччи, называемая скалярной кривизной, $T_{i k}-$ тензор энергии-импульса вещества и всех физич. полей, кроме гравитационного, тензор $T_{i k}$ также может включать в свою структуру компоненты $g_{i k}$. Уравнения Эйнштейна можно получить из вариационного принципа, в к-ром действие для гравитационного поля имеет вид \[ S_{g}=-\frac{c^{3}}{16 \pi \gamma} \int R \sqrt{-g} d \Omega \] впервые предложенный Д. Гильбертом (D. Hilbert). Здесь $g$ - определитель метрич. тензора, $d \Omega$ - элемент 4-мерного объема. Уравнения Эйнштейна, в отличие от уравнения Пуассона, нелинейны, поэтому в общей теории относительности не выполнен принцип суперпозиции. Физически это означает, что гравитационное поле имеет нек-рую энергию, причем масса, соответствующая этой энергии, в свою очередь создает гравитационное поле. Важным отличием уравнений Эйнштейна от других полевых уравнений является то, что уравнения движения являются следствием уравнений поля. Уравнения, описывающие физич. поля, определяющие тензор энергии-импульса, напр. электромагнитное поле, не являются следствием уравнений Эйнштейна, и их нужно добавить к уравнениям (6). В настоящее время известно много точных решений уравнений Эйнштейна, обладающих различными симметриями и соответствующих различным видам тензора энергии-импульса. Имеются определенные представления о структуре общего решения этих уравнений. Разработана постановка ряда задач математич. физики для уравнений Эйнштейна и прежде всего задачи Коши. С точки зрения представлений задачи Коши уравнения Эйнштейна являются системой уравнений гиперболич. типа, что соответствует конечности скорости распространения гравитационного взаимодействия. Многие конкретные решения уравнений Эйнштейна получили ясную физич. интерпретацию. Однако система понятий общей теории относительности очень сильно отличается от понятийного аппарата всей предшествующей физики. Напр., одновременно с решением уравнений (6) строится та область, в к-рой они должны быть решены. Хотя во многих конкретных случаях удается сформулировать законы сохранения энергии и импульса с учетом гравитационного поля (напр., для островного распределения вещества, плотность к-рого быстро спадает на бесконечности), в полной мере представление о законах сохранения не является адекватным для общей теории относительности. Эта теория содержит также внутренние ограничения своей применимости: из многих первоначально регулярных распределений вещества за конечное собственное время образуются сингулярности, в к-рых такие физич. величины, как плотность, температура и т. п., могут обращаться в бесконечность. Вблизи сингулярностей общая теория относительности в обычном смысле неприменима. Наконец, представления нелинейной общей теории относительности несовместимы с линейной квантовой механикой. В процессе развития общей теории относительности и физики элементарных частиц постепенно происходит их взаимное сближение, в ходе к-рого решаются отмеченные трудности. В частности, в рамках общей теории относительности удалось описать физич. поля со спином, для чего потребовалось ввести представление о пространстве-времени как о пространстве аффинной связности с кручением. Рассматриваются представления о финслеровом пространстве-времени. Была развита теория рождения частиц в гравитационном поле и сформулированы квантовомеханич. поправки к общей теории относительности (одним из первых такие поправки предложил А. Д. Сахаров). Представление о так наз. космологической постоянной удалось связать с современными представлениями о физич. вакууме. В рамках теории с космологич. постоянной уравнения Эйнштейна принимают вид \[ R_{i k}-\frac{1}{2} g_{i k} R-\Lambda g_{i k}=\frac{8 \pi \gamma}{c^{4}} T_{i k}, \] где $\Lambda$ - величина, характеризующая свойства физич. вакуума. В рамках теории суперпространства удалось нащупать точки соприкосновения в представлениях об искривленном пространстве-времени и линейном пространстве состояний. Развиваются многомерные теории элементарных частиц, являющиеся далекими обобщениями Калуцы-Клейна теории. В этих теориях кроме трех пространственных и одной временной координаты имеются дополнительные внутренние размерности, с помощью к-рых описываются свойства элементарных частиц. Вдали от космологич. сингулярности эти дополнительные размерности компактифицированы, свернуты до ультрамалых размеров и прямо нам не заметны. Предлагаются различные нестандартные теории тяготения, включающие новые, ненаблюдаемые сейчас на опыте физич. поля, напр. теория Бранса-Дикке с дополнительным скалярным полем. В теории элементарных частиц развиваются теории калибровочных полей и Янга-Миллса полей, представления к-рых перекликаются с представлениями общей теории относительности. Наконец, постепенно вырисовываются контуры так наз. великого объединения взаимодействий, то есть теории поля, объединяющей все известные взаимодействия, включая гравитационное, наподобие того, как электродинамика объединяет электричество и магнетизм. Развитие этих теорий в значительной степени ограничивается тем, что их эффекты очень слабы в окружающем нас мире и проявляются либо на очень ранних стадиях развития Вселенной, либо при исследовании процессов при сверхвысоких энергиях.