ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

изменения гравитационного поля, распространяющиеся в пространстве с фундаментальной скоростью $c$. Г. в. излучаются массами, движущимися с переменным ускорением. Подобно электродинамике, предсказывающей существование не связанного с зарядами свободного электромагнитного поля - электромагнитных волн, релятивистская теория гравитации - общая теория относительности - предсказывает существование не связанного с массами свободного гравитационного поля - Г. в. Воздействуя на тела, Г. в. должны вызывать относительное смещение их частей (деформацию тел). На этом явлении основаны попытки обнаружения Г. в., однако они до сих пор не обнаружены из-за чрезвычайно малой интенсивности и крайне слабого взаимодействия с веществом. Распространение Г. в. Слабые Г. в. представляют собой возмущения гравитационного поля, к-рые описываются симметричным тензором второго ранга $h_{\mu v}$, соответствующим малым возмущениям метрики Минковского (см. Минковского пространство-время) $\eta_{\mu \nu}\left(\left|h_{\mu \nu}\right| \ll 1\right)$ : \[ g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}, \quad \mu, \nu=0,1,2,3 . \] Тензор $h_{\mu v}$ рассматривается как тензорное поле на фоне плоского пространства-времени, при этом все операции поднимания и опускания тензорных индексов производятся с помощью невозмущенного метрич. тензора $\eta_{\mu v}$. При определенном выборе системы отсчета (или при определенной калибровке), аналогичной лоренцовой калибровке в электродинамике, на $h_{\mu \nu}$ налагаются дополнительные условия: \[ \frac{\partial \bar{h}_{\mu v}}{\partial x^{v}}=0 \] где $\overline{h_{\mu}^{\nu}}=h_{\mu}^{\nu}-\frac{1}{2} \delta_{\mu}^{\vee} h, h=h_{\mu}^{\mu}=\eta^{\mu v} h_{\mu \nu}, \delta_{\mu}^{v}-$ символ Кронекера (по совпадающим верхнему и нижнему индексам производится суммирование). В этой калибровке линеаризованные уравнения Эйнштейна в пустоте сводятся к волновому уравнению для $h_{\mu v}$ : \[ \square h_{\mu}^{v} \equiv\left(\Delta-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) h_{\mu}^{v}=0, \] где $\square$ - оператор Д’Аламбера, $\Delta$ - оператор Лапласа. В малой области пространства-времени Г. в. можно считать плоской. Если в качестве оси $x$ выбрать направление распространения волны, то подходящим выбором системы отсчета можно обратить в нуль все компоненты $h_{\mu v}$, кроме компонент $h_{22}=-h_{33} \equiv h_{+}$и $h_{23} \equiv h_{\times}$, то есть Г. в. является поперечной, а поляризация волны определяется следующим двумерным тензором второго ранга в плоскости $y z$ : \[ h_{a b}=\left\|\begin{array}{cc} h_{+} & h_{\times} \\ h_{\times} & -h_{+} \end{array}\right\|, \quad a, b=2,3 . \] Компоненты $h_{+}$и $h_{\times}$описывают две независимые поляризации Г. в., к-рые отличаются друг от друга поворотом на угол $\pi / 4$ в плоскости $y z$ (см. рис.).  Смещение пробных частиц в поляризованной гравитационной волне для двух независимых поляризаций. До начала прохождения волны частицы располагались на окружности. Каждый рисунок показывает последовательные положения частиц через четверть периода волны. Если в отсутствие Г. в. квадрат расстояния между соседними пробными частицами равен \[ d l_{0}^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2} \] то в волне расстояние оказывается переменным: \[ d l^{2}=d l_{0}^{2}+h_{+}\left(d y^{2}-d z^{2}\right)+2 h_{\times} d x d y . \] Из (6) становится ясным физич. смысл величин $h_{+}$и $h_{\mathrm{x}}$ : этими величинами определяются относительные смещения (а также относительные скорости и ускорения) пробных частиц в гравитационной волне (см. рис.). Поток энергии в Г. в. направлен вдоль оси распространения волны и равен \[ t^{0 x}=\frac{c^{2}}{16 \pi G}\left(\dot{h}_{+}^{2}+\dot{h}_{x}^{2}\right) \] где $G$ - гравитационная постоянная. Величина (7) представляет собой компоненту так наз. псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. В отличие от истинного тензора, любая компонента псевдотензора может быть локально обрашена в нуль соответствующим выбором системы отсчета. Последнее есть следствие эквивалентности принципа: локально гравитационное поле может быть устранено переходом в ускоренную систему отсчета. Однако после усреднения по многим длинам волн псевдотензор переходит в истинный тензор и усредненная таким способом компонента $\left\langle t^{0 x}\right\rangle$ уже не может быть обращена в нуль никаким выбором системы отсчета. Это означает, что, в отличие от электромагнитной волны, энергия Г. в. не локализована. Понятие слабой Г. в. обобщается и на случай, когда фоновое пространство-время является произвольно искривленным, $\stackrel{(0)}{g} \underset{\mu v}{\neq} \eta_{\mu v}$, то есть пространство-время не является пространством-временем Минковского. Если длина волны $\lambda \ll R$, где $R$ - характерный радиус кривизны фонового пространства-времени, то $h_{\mu \nu}$ в волне описывается уравнением \[ h_{\mu \nu} ; \rho, \rho=0 \text {, } \] где ; означает ковариантное дифференцирование. Уравнение (8) является обобщением уравнения (3). И в этом случае псевдотензор энергии-импульса, усредненный по участкам пространства-времени с размерами $L$, такими, что $\lambda \ll L \ll R$, превращается в истинный тензор в фоновом пространстве-времени и описывает влияние самих Г. в. на фоновую кривизну. Указанное обобщение представляет большой интерес, напр. в космологии при рассмотрении так наз. космологич. (или первичных) Г. в., распространяющихся на фоне однородной и изотропной Вселенной (пространство-время Фридмана). Кроме того, известны точные решения уравнений Эйнштейна, к-рые представляют собой обобщения слабой Г. в. на случай сильного гравитационного поля $\left(\left|h_{\mu \nu}\right| \sim 1\right)$. В дальнейшем будет рассмотрено излучение слабых Г. в. Источники Г. в. Уравнения Эйнштейна при наличии материи могут быть записаны в виде: \[ \square \bar{h}_{v}^{\mu}=\frac{16 \pi G}{c^{4}} \tau_{v}^{\mu} \] где $\tau_{v}^{\mu}=T_{v}^{\mu}+t_{v}^{\mu}, T_{v}^{\mu}-$ тензор энергии-импульса материи, а $t_{v}^{\mu}$ - псевдотензор гравитационного поля. Решение уравнения (9) имеет вид: \[ \bar{h}_{v}^{\mu}=-\frac{4 G}{c^{4}} \int\left(\tau_{v}^{\mu}\right)_{t-R / c} d V / R \] ( $d V$ - элемент объема). Формула (10) справедлива для любых источников. Но если массы в источнике движутся со скоростями, много меньшими скорости света, то решение (10) можно существенно упростить, положив всюду в (10) $R=R_{0}$, где $R_{0}-$ расстояние от центра масс системы до точки, в к-рой определяется $h_{\mu v}$. Если воспользоваться соотношением \[ \frac{\partial \tau_{v}^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0 \] К-рое непосредственно вытекает из (2) и (9), то, дважды применяя интегрирование по частям и формулу Гаусса, можно показать, что (10) в пределе медленных движений сводится к выражению \[ h_{i k}=-\frac{2 G}{3 c^{4} R_{0}} \ddot{D}_{i k}, \quad i, k=1,2,3 \] где \[ D_{i k}=\int \rho\left[3 x^{i} x^{k}-\left(x^{i}\right)^{2}\right] d V \] - тензор квадрупольного момента ( $\rho$ - плотность материи в источнике). В общей теории относительности, в отличие от электродинамики, отсутствует дипольное гравитационное излучение: вследствие равенства тяжелой (гравитационной) и инертной массы, а также закона сохранения импульса вторая производная по времени от дипольного момента \[ d_{i}=\int \rho x^{i} d V \] (определяющая дипольное излучение) обращается в нуль, \[ \ddot{d}_{i}=\int \dot{p}^{i} d V \] где $p^{i}$ - компонента плотности импульса. Таким образом, гравитационное излучение носит в основном квадрупольный характер [ $h_{i k}$, связанные с более высокими мультиполями, много меньше, чем величина (12)]. Из (7) и (12) следует, что вдали от источника поток энергии излучения \& гр $^{\text {в элемент телесного угла, проинтег- }}$ рированный по всем направлениям, равен \[ L_{\text {гр }}=\int t^{0 r} R^{2} d \Omega \equiv-\frac{d^{\varkappa} \text { гр }}{d t}=\frac{G}{45 c^{5}} \dddot{D}_{i k}^{2} . \] Скорость потери энергии за счет излучения Г. в. может быть получена и без привлечения псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Показано, что в ближней неволновой зоне гравитационное поле может быть описано модифицированным потенциалом, к-рый отличается от обычного ньютоновского потенциала качественной добавкой \[ \Phi^{\text {peak }}=\frac{G}{15 c^{5}} \dddot{D}_{i k} x^{i} x^{k} \] соответствующей силе реакции излучения (аналог силы радиационного трения в электродинамике) \[ \boldsymbol{F}^{\text {реак }}=-m \nabla \Phi^{\text {реaк }} \] Тогда потеря энергии системой (источником) равна \[ \frac{d \varepsilon \text { реак }}{d t}=\int \boldsymbol{v} \boldsymbol{F}^{\text {реак }} d V=-\frac{G}{45 c^{5}} \dddot{D}_{i k} \dot{D}_{i k} . \] Усредняя (16) по нескольким периодам или характерным временам, дважды применяя интегрирование по частям, приходим к той же величине скорости потери энергии, что и (13). Учитывая, что по порядку величины \[ \dddot{D}_{i k} \sim m r^{2} / T^{3} \sim m v^{3} / r \] ( $m, r, T$ и $v-$ характерные масса, размер, время и скорость в несферич. самогравитирующей системе), из (13) можно получить простые оценочные формулы: \[ L_{\mathrm{Tp}} \sim \frac{G}{c^{5}}\left(\frac{m}{r}\right)^{2} v^{6} \sim L_{0}\left(\frac{r_{g}}{r}\right)^{2}\left(\frac{v}{c}\right)^{6}, \] где $L_{0} \equiv c^{5} / G \approx 3,6 \cdot 10^{59}$ эрг/с, $r_{g}-$ гравитационный радиус источника. Для гравитационно связанных систем \[ v \sim\left(\frac{G m}{r}\right)^{1 / 2}, \quad T \sim\left(\frac{r^{3}}{G m}\right)^{1 / 2}, \] и поэтому \[ L_{\mathrm{rp}} \sim L_{0}\left(\frac{r_{g}}{r}\right)^{5}, \Delta \mathscr{E}_{\mathrm{rp}} \approx L_{\Gamma \mathrm{p}} T \sim m c^{2}\left(\frac{r_{g}}{r}\right)^{7 / 2} . \] Так как из (12) следует, что \[ h \sim\left(\frac{r_{g}}{R}\right)\left(\frac{v}{c}\right)^{2} \] To \[ h \sim 3 \cdot 10^{-18}\left(\frac{\varepsilon}{0,1}\right)^{2 / 7} \frac{(m / M \odot)}{\left(R / 10_{\mathrm{K} \Pi \mathrm{K}}\right)}, \] где $\varepsilon=\Delta \mathscr{E}_{\Gamma р} / m c^{2} \sim\left(r_{g} / r\right)^{7 / 2}-$ эффективность гравитационного излучения. Основными источниками Г. в. являются следуюшие астрофизич. объекты и явления: двойные звездные системы (излучение носит периодич. характер); быстро вращающиеся (не аксиально симметричные по форме) пульсары (периодич. излучение); столкновения компактных объектов нейтронных звезд или черных дыр - в плотных скоплениях (излучение носит характер всплесков); взрывы сверхновых (всплески); несферич. коллапс, к-рый может предшествовать взрыву сверхновой (всплески); космологич. Г. в. (излучение носит характер стохастич. шума) и др.

изменения гравитационного поля, распространяющиеся в пространстве с фундаментальной скоростью $c$. Г. в. излучаются массами, движущимися с переменным ускорением. Подобно электродинамике, предсказывающей существование не связанного с зарядами свободного электромагнитного поля - электромагнитных волн, релятивистская теория гравитации - общая теория относительности - предсказывает существование не связанного с массами свободного гравитационного поля - Г. в. Воздействуя на тела, Г. в. должны вызывать относительное смещение их частей (деформацию тел). На этом явлении основаны попытки обнаружения Г. в., однако они до сих пор не обнаружены из-за чрезвычайно малой интенсивности и крайне слабого взаимодействия с веществом. Распространение Г. в. Слабые Г. в. представляют собой возмущения гравитационного поля, к-рые описываются симметричным тензором второго ранга $h_{\mu v}$, соответствующим малым возмущениям метрики Минковского (см. Минковского пространство-время) $\eta_{\mu \nu}\left(\left|h_{\mu \nu}\right| \ll 1\right)$ : \[ g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}, \quad \mu, \nu=0,1,2,3 . \] Тензор $h_{\mu v}$ рассматривается как тензорное поле на фоне плоского пространства-времени, при этом все операции поднимания и опускания тензорных индексов производятся с помощью невозмущенного метрич. тензора $\eta_{\mu v}$. При определенном выборе системы отсчета (или при определенной калибровке), аналогичной лоренцовой калибровке в электродинамике, на $h_{\mu \nu}$ налагаются дополнительные условия: \[ \frac{\partial \bar{h}_{\mu v}}{\partial x^{v}}=0 \] где $\overline{h_{\mu}^{\nu}}=h_{\mu}^{\nu}-\frac{1}{2} \delta_{\mu}^{\vee} h, h=h_{\mu}^{\mu}=\eta^{\mu v} h_{\mu \nu}, \delta_{\mu}^{v}-$ символ Кронекера (по совпадающим верхнему и нижнему индексам производится суммирование). В этой калибровке линеаризованные уравнения Эйнштейна в пустоте сводятся к волновому уравнению для $h_{\mu v}$ : \[ \square h_{\mu}^{v} \equiv\left(\Delta-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) h_{\mu}^{v}=0, \] где $\square$ - оператор Д’Аламбера, $\Delta$ - оператор Лапласа. В малой области пространства-времени Г. в. можно считать плоской. Если в качестве оси $x$ выбрать направление распространения волны, то подходящим выбором системы отсчета можно обратить в нуль все компоненты $h_{\mu v}$, кроме компонент $h_{22}=-h_{33} \equiv h_{+}$и $h_{23} \equiv h_{\times}$, то есть Г. в. является поперечной, а поляризация волны определяется следующим двумерным тензором второго ранга в плоскости $y z$ : \[ h_{a b}=\left\|\begin{array}{cc} h_{+} & h_{\times} \\ h_{\times} & -h_{+} \end{array}\right\|, \quad a, b=2,3 . \] Компоненты $h_{+}$и $h_{\times}$описывают две независимые поляризации Г. в., к-рые отличаются друг от друга поворотом на угол $\pi / 4$ в плоскости $y z$ (см. рис.).  Смещение пробных частиц в поляризованной гравитационной волне для двух независимых поляризаций. До начала прохождения волны частицы располагались на окружности. Каждый рисунок показывает последовательные положения частиц через четверть периода волны. Если в отсутствие Г. в. квадрат расстояния между соседними пробными частицами равен \[ d l_{0}^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2} \] то в волне расстояние оказывается переменным: \[ d l^{2}=d l_{0}^{2}+h_{+}\left(d y^{2}-d z^{2}\right)+2 h_{\times} d x d y . \] Из (6) становится ясным физич. смысл величин $h_{+}$и $h_{\mathrm{x}}$ : этими величинами определяются относительные смещения (а также относительные скорости и ускорения) пробных частиц в гравитационной волне (см. рис.). Поток энергии в Г. в. направлен вдоль оси распространения волны и равен \[ t^{0 x}=\frac{c^{2}}{16 \pi G}\left(\dot{h}_{+}^{2}+\dot{h}_{x}^{2}\right) \] где $G$ - гравитационная постоянная. Величина (7) представляет собой компоненту так наз. псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. В отличие от истинного тензора, любая компонента псевдотензора может быть локально обрашена в нуль соответствующим выбором системы отсчета. Последнее есть следствие эквивалентности принципа: локально гравитационное поле может быть устранено переходом в ускоренную систему отсчета. Однако после усреднения по многим длинам волн псевдотензор переходит в истинный тензор и усредненная таким способом компонента $\left\langle t^{0 x}\right\rangle$ уже не может быть обращена в нуль никаким выбором системы отсчета. Это означает, что, в отличие от электромагнитной волны, энергия Г. в. не локализована. Понятие слабой Г. в. обобщается и на случай, когда фоновое пространство-время является произвольно искривленным, $\stackrel{(0)}{g} \underset{\mu v}{\neq} \eta_{\mu v}$, то есть пространство-время не является пространством-временем Минковского. Если длина волны $\lambda \ll R$, где $R$ - характерный радиус кривизны фонового пространства-времени, то $h_{\mu \nu}$ в волне описывается уравнением \[ h_{\mu \nu} ; \rho, \rho=0 \text {, } \] где ; означает ковариантное дифференцирование. Уравнение (8) является обобщением уравнения (3). И в этом случае псевдотензор энергии-импульса, усредненный по участкам пространства-времени с размерами $L$, такими, что $\lambda \ll L \ll R$, превращается в истинный тензор в фоновом пространстве-времени и описывает влияние самих Г. в. на фоновую кривизну. Указанное обобщение представляет большой интерес, напр. в космологии при рассмотрении так наз. космологич. (или первичных) Г. в., распространяющихся на фоне однородной и изотропной Вселенной (пространство-время Фридмана). Кроме того, известны точные решения уравнений Эйнштейна, к-рые представляют собой обобщения слабой Г. в. на случай сильного гравитационного поля $\left(\left|h_{\mu \nu}\right| \sim 1\right)$. В дальнейшем будет рассмотрено излучение слабых Г. в. Источники Г. в. Уравнения Эйнштейна при наличии материи могут быть записаны в виде: \[ \square \bar{h}_{v}^{\mu}=\frac{16 \pi G}{c^{4}} \tau_{v}^{\mu} \] где $\tau_{v}^{\mu}=T_{v}^{\mu}+t_{v}^{\mu}, T_{v}^{\mu}-$ тензор энергии-импульса материи, а $t_{v}^{\mu}$ - псевдотензор гравитационного поля. Решение уравнения (9) имеет вид: \[ \bar{h}_{v}^{\mu}=-\frac{4 G}{c^{4}} \int\left(\tau_{v}^{\mu}\right)_{t-R / c} d V / R \] ( $d V$ - элемент объема). Формула (10) справедлива для любых источников. Но если массы в источнике движутся со скоростями, много меньшими скорости света, то решение (10) можно существенно упростить, положив всюду в (10) $R=R_{0}$, где $R_{0}-$ расстояние от центра масс системы до точки, в к-рой определяется $h_{\mu v}$. Если воспользоваться соотношением \[ \frac{\partial \tau_{v}^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0 \] К-рое непосредственно вытекает из (2) и (9), то, дважды применяя интегрирование по частям и формулу Гаусса, можно показать, что (10) в пределе медленных движений сводится к выражению \[ h_{i k}=-\frac{2 G}{3 c^{4} R_{0}} \ddot{D}_{i k}, \quad i, k=1,2,3 \] где \[ D_{i k}=\int \rho\left[3 x^{i} x^{k}-\left(x^{i}\right)^{2}\right] d V \] - тензор квадрупольного момента ( $\rho$ - плотность материи в источнике). В общей теории относительности, в отличие от электродинамики, отсутствует дипольное гравитационное излучение: вследствие равенства тяжелой (гравитационной) и инертной массы, а также закона сохранения импульса вторая производная по времени от дипольного момента \[ d_{i}=\int \rho x^{i} d V \] (определяющая дипольное излучение) обращается в нуль, \[ \ddot{d}_{i}=\int \dot{p}^{i} d V \] где $p^{i}$ - компонента плотности импульса. Таким образом, гравитационное излучение носит в основном квадрупольный характер [ $h_{i k}$, связанные с более высокими мультиполями, много меньше, чем величина (12)]. Из (7) и (12) следует, что вдали от источника поток энергии излучения \& гр $^{\text {в элемент телесного угла, проинтег- }}$ рированный по всем направлениям, равен \[ L_{\text {гр }}=\int t^{0 r} R^{2} d \Omega \equiv-\frac{d^{\varkappa} \text { гр }}{d t}=\frac{G}{45 c^{5}} \dddot{D}_{i k}^{2} . \] Скорость потери энергии за счет излучения Г. в. может быть получена и без привлечения псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Показано, что в ближней неволновой зоне гравитационное поле может быть описано модифицированным потенциалом, к-рый отличается от обычного ньютоновского потенциала качественной добавкой \[ \Phi^{\text {peak }}=\frac{G}{15 c^{5}} \dddot{D}_{i k} x^{i} x^{k} \] соответствующей силе реакции излучения (аналог силы радиационного трения в электродинамике) \[ \boldsymbol{F}^{\text {реак }}=-m \nabla \Phi^{\text {реaк }} \] Тогда потеря энергии системой (источником) равна \[ \frac{d \varepsilon \text { реак }}{d t}=\int \boldsymbol{v} \boldsymbol{F}^{\text {реак }} d V=-\frac{G}{45 c^{5}} \dddot{D}_{i k} \dot{D}_{i k} . \] Усредняя (16) по нескольким периодам или характерным временам, дважды применяя интегрирование по частям, приходим к той же величине скорости потери энергии, что и (13). Учитывая, что по порядку величины \[ \dddot{D}_{i k} \sim m r^{2} / T^{3} \sim m v^{3} / r \] ( $m, r, T$ и $v-$ характерные масса, размер, время и скорость в несферич. самогравитирующей системе), из (13) можно получить простые оценочные формулы: \[ L_{\mathrm{Tp}} \sim \frac{G}{c^{5}}\left(\frac{m}{r}\right)^{2} v^{6} \sim L_{0}\left(\frac{r_{g}}{r}\right)^{2}\left(\frac{v}{c}\right)^{6}, \] где $L_{0} \equiv c^{5} / G \approx 3,6 \cdot 10^{59}$ эрг/с, $r_{g}-$ гравитационный радиус источника. Для гравитационно связанных систем \[ v \sim\left(\frac{G m}{r}\right)^{1 / 2}, \quad T \sim\left(\frac{r^{3}}{G m}\right)^{1 / 2}, \] и поэтому \[ L_{\mathrm{rp}} \sim L_{0}\left(\frac{r_{g}}{r}\right)^{5}, \Delta \mathscr{E}_{\mathrm{rp}} \approx L_{\Gamma \mathrm{p}} T \sim m c^{2}\left(\frac{r_{g}}{r}\right)^{7 / 2} . \] Так как из (12) следует, что \[ h \sim\left(\frac{r_{g}}{R}\right)\left(\frac{v}{c}\right)^{2} \] To \[ h \sim 3 \cdot 10^{-18}\left(\frac{\varepsilon}{0,1}\right)^{2 / 7} \frac{(m / M \odot)}{\left(R / 10_{\mathrm{K} \Pi \mathrm{K}}\right)}, \] где $\varepsilon=\Delta \mathscr{E}_{\Gamma р} / m c^{2} \sim\left(r_{g} / r\right)^{7 / 2}-$ эффективность гравитационного излучения. Основными источниками Г. в. являются следуюшие астрофизич. объекты и явления: двойные звездные системы (излучение носит периодич. характер); быстро вращающиеся (не аксиально симметричные по форме) пульсары (периодич. излучение); столкновения компактных объектов нейтронных звезд или черных дыр - в плотных скоплениях (излучение носит характер всплесков); взрывы сверхновых (всплески); несферич. коллапс, к-рый может предшествовать взрыву сверхновой (всплески); космологич. Г. в. (излучение носит характер стохастич. шума) и др.