ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

свойства аналитических функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения. Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение Г.с. аналитич. функций началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналитич. функций в окрестности изолированной существенно особой точки, полученных во 2-й половине 19 в. В связи с тем, что изучение Г.с. аналитич. функций связано прежде всего с геометрией границы $\Gamma$ области определения $D$ аналитич. функции $f(z)$ одного комплексного переменного $z$, в теории Г. с. аналитич. функций выделились три основных направления. а) Изучение поведения $f(z)$ в окрестности изолированной граничной точки $a \in \Gamma$. Наибольшее значение имеет случай существенно особой точки $a$, к к-рому относятся теорема Сохоцкого и теорема Пикара. б) Изучение поведения $f(z)$ в том случае, когда граница $\Gamma$ есть всюду разрывное множество. в) Изучение поведения $f(z)$ в том случае, когда область $D$ ограничена непрерывной замкнутой кривой $\Gamma$. Наибольшее внимание исследователей привлек случай в), о к-ром говорится ниже. Пусть аналитич. функция $f(z)$ определена в конечной односвязной области $D$ комплексной плоскости $z$, ограниченной жордановой спрямляемой кривой Г. Основными проблемами, характерными для классич. направления изучения Г. с. аналитич. функций, являются следующие. 1) Проблема существования граничных значений, то есть вопрос о том, при каких условиях и в каком смысле существуют граничные значения $f(z)$ при приближении точки $z$ к Г. Эта проблема, как и последующие, иначе может быть сформулирована как задача о выделении достаточно обширных классов аналитич. функций в $D$, имеющих в том или ином смысле граничные значения на достаточно массивных множествах точек Г. 2) Проблема граничного представления $f(z)$, то есть вопрос о том, при каких условиях и при помощи какого аналитич. аппарата может быть выражена зависимость функции $f(z)$ от ее граничных значений на $\Gamma$. Здесь, очевидно, для различных классов аналитич. функций аналитич. аппарат будет варьироваться. 3) Проблема единственности, или вопрос о том, какими свойствами должно обладать множество $E \subset \Gamma$, чтобы две аналитич. функции того или иного класса совпадали всюду в $D$, если их граничные значения на $E$ совпадают. Лит.: [1] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, кол. 1098-1102; [2] Голубев В. В., Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961; [3] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [4] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М., $1950 . \quad$ Е.Д. Соломенцев.

свойства аналитических функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения. Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение Г.с. аналитич. функций началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналитич. функций в окрестности изолированной существенно особой точки, полученных во 2-й половине 19 в. В связи с тем, что изучение Г.с. аналитич. функций связано прежде всего с геометрией границы $\Gamma$ области определения $D$ аналитич. функции $f(z)$ одного комплексного переменного $z$, в теории Г. с. аналитич. функций выделились три основных направления. а) Изучение поведения $f(z)$ в окрестности изолированной граничной точки $a \in \Gamma$. Наибольшее значение имеет случай существенно особой точки $a$, к к-рому относятся теорема Сохоцкого и теорема Пикара. б) Изучение поведения $f(z)$ в том случае, когда граница $\Gamma$ есть всюду разрывное множество. в) Изучение поведения $f(z)$ в том случае, когда область $D$ ограничена непрерывной замкнутой кривой $\Gamma$. Наибольшее внимание исследователей привлек случай в), о к-ром говорится ниже. Пусть аналитич. функция $f(z)$ определена в конечной односвязной области $D$ комплексной плоскости $z$, ограниченной жордановой спрямляемой кривой Г. Основными проблемами, характерными для классич. направления изучения Г. с. аналитич. функций, являются следующие. 1) Проблема существования граничных значений, то есть вопрос о том, при каких условиях и в каком смысле существуют граничные значения $f(z)$ при приближении точки $z$ к Г. Эта проблема, как и последующие, иначе может быть сформулирована как задача о выделении достаточно обширных классов аналитич. функций в $D$, имеющих в том или ином смысле граничные значения на достаточно массивных множествах точек Г. 2) Проблема граничного представления $f(z)$, то есть вопрос о том, при каких условиях и при помощи какого аналитич. аппарата может быть выражена зависимость функции $f(z)$ от ее граничных значений на $\Gamma$. Здесь, очевидно, для различных классов аналитич. функций аналитич. аппарат будет варьироваться. 3) Проблема единственности, или вопрос о том, какими свойствами должно обладать множество $E \subset \Gamma$, чтобы две аналитич. функции того или иного класса совпадали всюду в $D$, если их граничные значения на $E$ совпадают. Лит.: [1] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, кол. 1098-1102; [2] Голубев В. В., Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, М., 1961; [3] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [4] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М., $1950 . \quad$ Е.Д. Соломенцев.