ГРИФФИТСА ЛЕММА

если последовательность выпуклых дифференцируемых функций сходится поточечно к предельной функции (необходимо выпуклой), то и последовательность производных сходится к производной от предельной функции в точках ее непрерывной дифференцируемости. Более общая лемма сформулирована М. Фишером (см. [2]): пусть дана последовательность выпуклых вниз функций $\left\{f_{k}(x)\right\}, \quad x \in \mathbf{I} \subset \mathbb{R}^{1}$, к-рая сходится при $k \rightarrow \infty$ к предельной функции $f(x)$; тогда для производных слева, $d^{-} f / d x$, и производных справа, $d^{+} f / d x$, в любой точке $x \in \mathbf{I}$ справедливы неравенства \[ \frac{d^{-} f(x)}{d x} \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \inf \frac{d^{-} f_{k}(x)}{d x} \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \sup \frac{d^{+} f_{k}(x)}{d x} \leqslant \frac{d^{+} f(x)}{d x} . \] Лемма Фишера используется в методе аппроксимирующего гамильтониана для вывода неравенств, обобщающих уравнение самосогласования в термодинамич. пределе. Лит.: [1] Griffiths R. B., «J. Math. Phys.», 1964, v. 5, p. 1215; [2] Fischer M. E., там же, 1965, v. 6, p. 1643-53. Й. Г. Бранков.

если последовательность выпуклых дифференцируемых функций сходится поточечно к предельной функции (необходимо выпуклой), то и последовательность производных сходится к производной от предельной функции в точках ее непрерывной дифференцируемости. Более общая лемма сформулирована М. Фишером (см. [2]): пусть дана последовательность выпуклых вниз функций $\left\{f_{k}(x)\right\}, \quad x \in \mathbf{I} \subset \mathbb{R}^{1}$, к-рая сходится при $k \rightarrow \infty$ к предельной функции $f(x)$; тогда для производных слева, $d^{-} f / d x$, и производных справа, $d^{+} f / d x$, в любой точке $x \in \mathbf{I}$ справедливы неравенства \[ \frac{d^{-} f(x)}{d x} \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \inf \frac{d^{-} f_{k}(x)}{d x} \leqslant \lim _{k \rightarrow \infty} \sup \frac{d^{+} f_{k}(x)}{d x} \leqslant \frac{d^{+} f(x)}{d x} . \] Лемма Фишера используется в методе аппроксимирующего гамильтониана для вывода неравенств, обобщающих уравнение самосогласования в термодинамич. пределе. Лит.: [1] Griffiths R. B., «J. Math. Phys.», 1964, v. 5, p. 1215; [2] Fischer M. E., там же, 1965, v. 6, p. 1643-53. Й. Г. Бранков.