ГРУБАЯ СИСТЕМА

гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в $C^{1}$-метрике не более чем на $\delta$, существует гомеоморфизм фазового пространства, который сдвигает точки не более чем на $\varepsilon$ и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Формально определение предполагает заданной нек-рую риманову метрику на фазовом многообразии. Фактически о Г. с. обычно говорят либо когда фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории входят в нек-рую компактную область $G$ с гладкой границей, не касаясь последней, причем возмущение и гомеоморфизм рассматривают только на $G$. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли. Таким образом, при малом (в смысле $C^{1}$ ) возмущении Г. с. получается система, эквивалентная исходной по всем своим топологич. свойствам (однако приведенное определение содержит еще дополнительное требование, чтобы эта эквивалентность осуществлялась посредством гомеоморфизма, близкого к тождественному). Иногда термин «грубость» употребляют в более широком смысле, напр. имея в виду только сохранение при малых возмущениях того или иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о грубости данного свойства). Г. с. были введены А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным [1]. При малой размерности фазового многообразия (единица для дискретного времени и единица или два для непрерывного) Г. с. допускают простую характеристику в терминах качественных свойств поведения траекторий и образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех динамич. систем, снабженном $C^{1}$-топологией (см. [1], [2]); таким образом, системы с более сложным и более чувствительным к малым возмущениям поведением траекторий можно в этом случае рассматривать как исключительные). В бо́льших размерностях ни один из этих фактов не имеет места (см. [3]). Лит.: [1] Андронов А. А., Понтрягин Л. С., «Докл. АН СССР», 1937, т. 14, № 5, с. 247-50; [2] Peixoto M. M., «Topology», 1962, v. 1, № 2, p. 101-20; 1963, v. 2, № 2, p. 179-80; [3] Смейл С., «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, № 1, с. 113-85. Д. В. Аносов.

гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta>0$, что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в $C^{1}$-метрике не более чем на $\delta$, существует гомеоморфизм фазового пространства, который сдвигает точки не более чем на $\varepsilon$ и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Формально определение предполагает заданной нек-рую риманову метрику на фазовом многообразии. Фактически о Г. с. обычно говорят либо когда фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории входят в нек-рую компактную область $G$ с гладкой границей, не касаясь последней, причем возмущение и гомеоморфизм рассматривают только на $G$. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли. Таким образом, при малом (в смысле $C^{1}$ ) возмущении Г. с. получается система, эквивалентная исходной по всем своим топологич. свойствам (однако приведенное определение содержит еще дополнительное требование, чтобы эта эквивалентность осуществлялась посредством гомеоморфизма, близкого к тождественному). Иногда термин «грубость» употребляют в более широком смысле, напр. имея в виду только сохранение при малых возмущениях того или иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о грубости данного свойства). Г. с. были введены А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным [1]. При малой размерности фазового многообразия (единица для дискретного времени и единица или два для непрерывного) Г. с. допускают простую характеристику в терминах качественных свойств поведения траекторий и образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех динамич. систем, снабженном $C^{1}$-топологией (см. [1], [2]); таким образом, системы с более сложным и более чувствительным к малым возмущениям поведением траекторий можно в этом случае рассматривать как исключительные). В бо́льших размерностях ни один из этих фактов не имеет места (см. [3]). Лит.: [1] Андронов А. А., Понтрягин Л. С., «Докл. АН СССР», 1937, т. 14, № 5, с. 247-50; [2] Peixoto M. M., «Topology», 1962, v. 1, № 2, p. 101-20; 1963, v. 2, № 2, p. 179-80; [3] Смейл С., «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, № 1, с. 113-85. Д. В. Аносов.