ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

раздел механики, в котором изучается движение твердого тела, складывающееся из движения одной произвольно отмеченной точки $O$ (обычно это - центр масс) и движения около нее как неподвижной точки, определяющееся тем самым (поступательной) скоростью точки $O$ и угловой скоростью около $O$. Это движение описывается законом движения центра масс и теоремой о моменте количества движения (о кинетич. моменте), а именно, в неподвижной системе координат изменение импульса $\boldsymbol{p}$ описывается уравнением \[ \frac{d p}{d t}=\boldsymbol{f}, \] где $f$ - сумма внешних сил, действующих на тело,а изменение кинетич. момента $\boldsymbol{m}-$ уравнением \[ \frac{d \boldsymbol{m}}{d t}=\boldsymbol{k}, \] где $\boldsymbol{k}$ - сумма моментов внешних сил. При этом импульс пропорционален скорости $v$ центра масс, а кинетич. момент линейно зависит от угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$. Если момент $\boldsymbol{k}$ не зависит от положения твердого тела, то (2) описывает чистое вращение; в свою очередь, если сила $f$ не зависит от ориентации тела, то центр масс движется как материальная точка, а вращение около нее происходит независимо. Кинетич. энергия $T$ твердого тела квадратично зависит от $v, \omega$ и может быть представлена в виде суммы двух частей: \[ T=\frac{\mu v^{2}}{2}+\sum a_{i j} \omega_{i} \omega_{j} \] $\mu$ - масса тела; первый член в (3) есть кинетич. энергия поступательного движения - она имеет такой вид, как если бы вся масса $\mu$ тела была сосредоточена в центре инерции, а второй - кинетич. энергия вращательного движения с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр инерции. Ее изменение описывается уравнением \[ \frac{d I}{d t}=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{f})+(\omega, k), \] К-рое является следствием уравнений (1) и (2), если учесть, что \[ \boldsymbol{p}=\frac{\partial I}{\partial v}=\mu v, \quad \boldsymbol{m}=\frac{\partial I}{\partial \omega}, \quad \boldsymbol{m}=\mathscr{A} \omega \] где . - матрица $\left\{a_{i j}\right\}$, определяющая эллипсоид инерции. Пусть $k(O x y z)$ - неподвижная система координат, $O-$ какая-либо фиксированная точка тела (полюс) и $K(O X Y Z)$ подвижная, жестко скрепленная с телом система координат. Тогда положение (произвольно выбранной) точки $C$ тела в момент времени $t$ - движение - это семейство отображений $K \rightarrow k$, определяемое формулой \[ \boldsymbol{r}(t)=\mathscr{B}(t) \boldsymbol{R}+\boldsymbol{s}(t), \boldsymbol{r}(t)=O C, \] где $\boldsymbol{r}(t)$ - радиус-вектор точки $C$ в неподвижной системе координат, а $\boldsymbol{R}$ - ее радиус-вектор в подвижной системе. Вращение твердого тела определяется матрицей поворота $\mathscr{B}(t)$, а сдвиг вектором $s(t)$. Таким образом, пространство конфигураций (конфигурационное многообразие) твердого тела - шестимерное многообразие $\mathbb{R}^{3} \times S O(3)$, то есть прямое произведение трехмерного пространства $\mathbb{R}^{3}$ переносов и группы $S O(3)$ поворотов. Отсюда получается выражение для скорости $\boldsymbol{v}$ точки $C$ (при $s=0$ это формула Эйлера): \[ \dot{r}=v=[\omega, r-s]+\dot{s} \] (поскольку действие оператора $\AA_{\AA}{ }^{-1}$ сводится к векторному умножению: $\omega \leftrightarrow \dot{\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^{-1}}$ ). Вектор $\omega$ называется угловой скоростью тела в неподвижной системе координат, или просто угловой скоростью в пространстве. Переходя к подвижной системе координат, получают скорость \[ \boldsymbol{V}=\mathscr{B}^{-1} \boldsymbol{v} \] и угловую скорость $\Omega$ в теле то есть \[ \Omega \leftrightarrow \mathscr{\mathcal { B }}^{-1} \dot{\mathscr{B}}, \] \[ \Omega=\mathscr{B}^{-1} \omega \text {. } \] Именно в осях, связанных с самим телом (а, точнее, с эллипсоидом инерции) и построенных относительно центра масс, удобно формулировать уравнения движения твердого тела. При этом обычно полагают, что эти жестко связанные с телом оси направлены по главным (центральным) осям инерции. Кроме того, в этих осях обнаруживается наиболее простая связь между импульсом $\boldsymbol{P}$ и скоростью центра масс $\boldsymbol{w}=\mathscr{B}^{-1} \boldsymbol{s}, \boldsymbol{P}=\mu \boldsymbol{w}, \boldsymbol{p}=\mathscr{\Re} \boldsymbol{P}$ (где $\mu-$ масса тела) и кинетич. моментом $\boldsymbol{M}$ и угловой скоростью $\Omega$ : \[ \boldsymbol{M}=\mathscr{A} \Omega, \boldsymbol{m}=\mathscr{B} \] (здесь $d-$ диагональная матрица; подробнее: $\Omega=p i+q j+r k$, $\boldsymbol{M}=A p \boldsymbol{i}+B q \boldsymbol{j}+C \boldsymbol{k}$, где $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}-$ орты подвижной системы координат). Тогда уравнения (1) и (2) принимают соответственно вид \[ \begin{gathered} \frac{d \boldsymbol{P}}{d t}=\boldsymbol{F}, \\ \frac{d \boldsymbol{M}}{d t}=[\boldsymbol{M}, \Omega]+\boldsymbol{K}, \end{gathered} \] а кинетич. энергия выражается так: \[ T=\frac{1}{2} \mu w^{2}+A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} \] Лит.: [1] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; [2] Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М., Механика, 3 изд., М., 1973; [3] Кирпичников С. Н., Новоселов В. С., Математические аспекты кинематики твердого тела, Л., 1986. С.Я. Степанов.

раздел механики, в котором изучается движение твердого тела, складывающееся из движения одной произвольно отмеченной точки $O$ (обычно это - центр масс) и движения около нее как неподвижной точки, определяющееся тем самым (поступательной) скоростью точки $O$ и угловой скоростью около $O$. Это движение описывается законом движения центра масс и теоремой о моменте количества движения (о кинетич. моменте), а именно, в неподвижной системе координат изменение импульса $\boldsymbol{p}$ описывается уравнением \[ \frac{d p}{d t}=\boldsymbol{f}, \] где $f$ - сумма внешних сил, действующих на тело,а изменение кинетич. момента $\boldsymbol{m}-$ уравнением \[ \frac{d \boldsymbol{m}}{d t}=\boldsymbol{k}, \] где $\boldsymbol{k}$ - сумма моментов внешних сил. При этом импульс пропорционален скорости $v$ центра масс, а кинетич. момент линейно зависит от угловой скорости $\boldsymbol{\omega}$. Если момент $\boldsymbol{k}$ не зависит от положения твердого тела, то (2) описывает чистое вращение; в свою очередь, если сила $f$ не зависит от ориентации тела, то центр масс движется как материальная точка, а вращение около нее происходит независимо. Кинетич. энергия $T$ твердого тела квадратично зависит от $v, \omega$ и может быть представлена в виде суммы двух частей: \[ T=\frac{\mu v^{2}}{2}+\sum a_{i j} \omega_{i} \omega_{j} \] $\mu$ - масса тела; первый член в (3) есть кинетич. энергия поступательного движения - она имеет такой вид, как если бы вся масса $\mu$ тела была сосредоточена в центре инерции, а второй - кинетич. энергия вращательного движения с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, проходящей через центр инерции. Ее изменение описывается уравнением \[ \frac{d I}{d t}=(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{f})+(\omega, k), \] К-рое является следствием уравнений (1) и (2), если учесть, что \[ \boldsymbol{p}=\frac{\partial I}{\partial v}=\mu v, \quad \boldsymbol{m}=\frac{\partial I}{\partial \omega}, \quad \boldsymbol{m}=\mathscr{A} \omega \] где . - матрица $\left\{a_{i j}\right\}$, определяющая эллипсоид инерции. Пусть $k(O x y z)$ - неподвижная система координат, $O-$ какая-либо фиксированная точка тела (полюс) и $K(O X Y Z)$ подвижная, жестко скрепленная с телом система координат. Тогда положение (произвольно выбранной) точки $C$ тела в момент времени $t$ - движение - это семейство отображений $K \rightarrow k$, определяемое формулой \[ \boldsymbol{r}(t)=\mathscr{B}(t) \boldsymbol{R}+\boldsymbol{s}(t), \boldsymbol{r}(t)=O C, \] где $\boldsymbol{r}(t)$ - радиус-вектор точки $C$ в неподвижной системе координат, а $\boldsymbol{R}$ - ее радиус-вектор в подвижной системе. Вращение твердого тела определяется матрицей поворота $\mathscr{B}(t)$, а сдвиг вектором $s(t)$. Таким образом, пространство конфигураций (конфигурационное многообразие) твердого тела - шестимерное многообразие $\mathbb{R}^{3} \times S O(3)$, то есть прямое произведение трехмерного пространства $\mathbb{R}^{3}$ переносов и группы $S O(3)$ поворотов. Отсюда получается выражение для скорости $\boldsymbol{v}$ точки $C$ (при $s=0$ это формула Эйлера): \[ \dot{r}=v=[\omega, r-s]+\dot{s} \] (поскольку действие оператора $\AA_{\AA}{ }^{-1}$ сводится к векторному умножению: $\omega \leftrightarrow \dot{\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}^{-1}}$ ). Вектор $\omega$ называется угловой скоростью тела в неподвижной системе координат, или просто угловой скоростью в пространстве. Переходя к подвижной системе координат, получают скорость \[ \boldsymbol{V}=\mathscr{B}^{-1} \boldsymbol{v} \] и угловую скорость $\Omega$ в теле то есть \[ \Omega \leftrightarrow \mathscr{\mathcal { B }}^{-1} \dot{\mathscr{B}}, \] \[ \Omega=\mathscr{B}^{-1} \omega \text {. } \] Именно в осях, связанных с самим телом (а, точнее, с эллипсоидом инерции) и построенных относительно центра масс, удобно формулировать уравнения движения твердого тела. При этом обычно полагают, что эти жестко связанные с телом оси направлены по главным (центральным) осям инерции. Кроме того, в этих осях обнаруживается наиболее простая связь между импульсом $\boldsymbol{P}$ и скоростью центра масс $\boldsymbol{w}=\mathscr{B}^{-1} \boldsymbol{s}, \boldsymbol{P}=\mu \boldsymbol{w}, \boldsymbol{p}=\mathscr{\Re} \boldsymbol{P}$ (где $\mu-$ масса тела) и кинетич. моментом $\boldsymbol{M}$ и угловой скоростью $\Omega$ : \[ \boldsymbol{M}=\mathscr{A} \Omega, \boldsymbol{m}=\mathscr{B} \] (здесь $d-$ диагональная матрица; подробнее: $\Omega=p i+q j+r k$, $\boldsymbol{M}=A p \boldsymbol{i}+B q \boldsymbol{j}+C \boldsymbol{k}$, где $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}-$ орты подвижной системы координат). Тогда уравнения (1) и (2) принимают соответственно вид \[ \begin{gathered} \frac{d \boldsymbol{P}}{d t}=\boldsymbol{F}, \\ \frac{d \boldsymbol{M}}{d t}=[\boldsymbol{M}, \Omega]+\boldsymbol{K}, \end{gathered} \] а кинетич. энергия выражается так: \[ T=\frac{1}{2} \mu w^{2}+A p^{2}+B q^{2}+C r^{2} \] Лит.: [1] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., М., 1979; [2] Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М., Механика, 3 изд., М., 1973; [3] Кирпичников С. Н., Новоселов В. С., Математические аспекты кинематики твердого тела, Л., 1986. С.Я. Степанов.