АНОМАЛИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

свойство, состоящее в том, что некоторые законы сохранения, справедливые в классической теории, перестают выполняться при правильном учете квантовых эффектов. Происхождение А. связано с ультрафиолетовыми расходимостями квантовой теории поля, нуждающимися в регуляризации. Конкретный выбор процедуры регуляризации в квантовой теории поля, как правило, неоднозначен. При этом в нек-рых случаях регуляризацию невозможно провести так, чтобы удовлетворить одновременно всем требованиям симметрии исходной классич. теории поля. В результате нек-рые симметрии оказываются нарушенными. Напр., в квантовой электродинамике выполняется закон сохранения векторного тока $\partial j_{\mu} / \partial x_{\mu}=0$, где $j_{\mu}(x)=\bar{\psi}(x) \gamma_{\mu} \psi(x)-4$-вектор тока, $\mu=0,1,2,3, \psi(x)$ - Дирака поле электрона ( $x-$ пространственно-временная точка), $\gamma_{\mu}-$ Дирака матрицы, $\bar{\psi}=\psi^{+} \gamma_{0}-$ эрмитово сопряженное поле. Наряду с векторным полем, в квантовой электродинамике можно также рассмотреть аксиальный ток $j_{\mu 5}=\bar{\psi}(x) \gamma_{\mu} \gamma_{5} \psi(x)$, где $\gamma_{5}=i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}$. В силу Дирака уравнения дивергенция аксиального тока \[ \partial j_{\mu 5} / \partial x_{\mu}=2 i m \bar{\psi} \gamma_{5} \psi \] где $m$ - масса электрона (используется система единиц, в $\mathrm{K}-$ рой $\hbar=c=0$ ). Из этого уравнения следует, что в пределе нулевой массы электрона аксиальный ток сохраняется, что является отражением теории киральной симметрии. Однако более аккуратное исследование показывает, что этот вывод неверен. Действительно, в определении аксиального тока стоит произведение антикоммутирующих операторов $\psi$ и $\bar{\psi}$, взятых в одной точке $x$. Такое произведение нуждается в доопределении (регуляризации). Если ее провести так, чтобы не нарушить закон сохранения векторного тока, то оказывается, что правильное выражение для дивергенции аксиального тока принимает вид \[ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} j_{\mu 5}(x)=2 i m \bar{\psi}(x) \gamma_{5} \psi(x)+\frac{e^{2}}{16 \pi^{2}} \varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} F_{\alpha \beta} F_{\gamma \delta}, \] где $e$ - заряд электрона $\left(e^{2} \approx 1 / 137\right), F_{\alpha \beta}-$ тензор напряженности электромагнитного поля, $\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}-$ абсолютно антисимметричный тензор, $\varepsilon^{0123}=1$. Таким образом, аксиальный ток не сохраняется даже в пределе безмассового электрона. Это явление называется аксиальной аномалией (см. [1]). Аналогичная аксиальная А. возникает в любой калибровочной теории поля и, в частности, в квантовой хромодинамике, где дивергенция аксиального тока кварков имеет вид, аналогичный (1) с напряженностью глюонного поля $G_{\mu \nu}^{a}(x)(a=1, \ldots, 8$ - цветовой индекс) и безразмерной константой связи сильного взаимодействия (цветовым зарядом) $g$ вместо напряженности электромагнитного поля и электрич. заряда. Другой важный пример - дилатационная аномалия. Любая квантовая теория поля, в лагранжиане к-рой нет размерных констант, обладает масштабной инвариантностью (скейлингом), то есть инвариантностью относительно растяжения координат $x_{\mu} \rightarrow \lambda x_{\mu}$ с одновременным умножением операторов полей на множитель $\lambda$ в степени, равной размерности поля. Согласно Нетер теореме, такой инвариантности в классич. теории поля отвечает сохраняющийся дилатационный ток \[ D_{\mu}(x)=x^{v} \theta_{\mu v}(x), \] где $\theta_{\mu \nu}-$ симметрич. тензор энергии-импульса теории. Действительно, в силу уравнений движения тензор энергии-импульса сохраняется $\left(\partial \theta_{\mu \nu} / \partial x_{\mu}=0\right)$, так что дивергенция дилатационного тока равна следу тензора энергии-импульса, $\partial D_{\mu} / \partial x_{\mu}=\theta_{\mu}^{\mu}$, причем последняя величина равна нулю. Однако квантовая теория с безразмерной константой связи содержит логарифмич. ультрафиолетовые расходимости, к-рые необходимо регуляризовать и перенормировать. В результате конечные регуляризованные выражения оказываются зависящими от нек-рой размерной величины импульса нормировки, или параметра шкалы, и масштабная инвариантность нарушается. Таким образом, с учетом квантовых эффектов $\partial D_{\mu} / \partial x_{\mu}=\theta_{\mu}^{\mu} \neq 0$. Напр., в квантовой хромодинамике (в пределе нулевой массы кварков) след тензора энергии-импульса пропорционален квадрату напряженности глюонного поля (см. [2]). В современной теории элементарных частиц и квантовой теории поля А. играют важную роль. В частности, аксиальная А. типа (1) позволяет вычислить вероятность распада $\pi^{0}$-мезона на два фотона, поскольку, согласно токовой алгебре, поле $\pi^{0}$ совпадает с дивергенцией аксиального поля кварков. Так как, согласно (1), амплитуда процесса пропорциональна сумме квадратов зарядов кварков, составляющих $\pi^{0}$-мезон, то из сравнения теоретически вычисленного времени жизни $\pi^{0}$ с его экспериментальным значением можно определить заряды кварков. Это сопоставление было одним из аргументов в пользу введения дополнительного квантового числа, характеризующего кварки, - цвета. Другой пример - аксиальная А. в электрослабом взаимодействии. В отличие от квантовой электродинамики, в этой теории аксиальный ток непосредственно входит в лагранжиан взаимодействия и, таким образом, взаимодействует с калибровочным полем. Поэтому наличие А. ведет к внутренней противоречивости теории, напр. к отсутствию перенормируемости. Между тем в стандартной теории электрослабого взаимодействия лептоны и кварки внутри одного поколения фермионов вносят в А. вклады, равные по величине. но противоположные по знаку. Необходимость внутренней согласованности теории (то есть ее перенормируемости) требует сокращения А. Отсюда вытекает, что должно быть одинаковое число дублетов кварков и лептонов. В настоящее время действительно обнаружено по три дублета лептонов и кварков. Необходимость существования $c$-кварка, а позднее $t$-кварка, вытекающая из требования сокращения А., была осознана до экспериментального обнаружения этих частиц. Аналогичные ограничения возникают и для моделей великого объединения взаимодействий. В квантовой хромодинамике существует проблема нонета псевдоскалярных мезонов. Из них восемь $\left(\pi^{ \pm}, \pi^{0}, \mathrm{~K}^{ \pm}, \mathrm{K}^{0}\right.$, $\widetilde{\mathbf{K}}^{0}, \eta$ ) находят как псевдоголдстоуновские бозоны (см. Голдстоуна теорема), связанные со спонтанным нарушением почти точной киральной симметрии исходного лагранжиана квантовой хромодинамики. Девятый псевдоскалярный мезон $\eta^{\prime}$ гораздо тяжелее остальных восьми и не укладывается в эту схему. Трудность разрешается тем, что аксиальный ток, имеющий квантовые числа $\eta^{\prime}$-мезона, не сохраняется даже в пределе безмассовых кварков из-за аксиальной А. Большая масса $\eta^{\prime}$-мезона является указанием на то, что в вакууме квантовой хромодинамике существенны такие флуктуации глюонного поля $G_{\mu \nu}^{a}$, для к-рых величина \[ Q_{t}=\frac{g^{2}}{64 \pi^{2}} \int d t d x \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} G_{\mu \nu}^{a}(t, x) G_{\rho \sigma}^{a}(t, x), \] называемая топологическим зарядом, отлична от нуля. Эти флуктуации не учитываются обычной теорией возмущений, для к-рой величина $Q_{t}=0$. Таким образом, в вакууме квантовой хромодинамики существенную роль должны играть флуктуации нового типа, напр. инстантоны.

свойство, состоящее в том, что некоторые законы сохранения, справедливые в классической теории, перестают выполняться при правильном учете квантовых эффектов. Происхождение А. связано с ультрафиолетовыми расходимостями квантовой теории поля, нуждающимися в регуляризации. Конкретный выбор процедуры регуляризации в квантовой теории поля, как правило, неоднозначен. При этом в нек-рых случаях регуляризацию невозможно провести так, чтобы удовлетворить одновременно всем требованиям симметрии исходной классич. теории поля. В результате нек-рые симметрии оказываются нарушенными. Напр., в квантовой электродинамике выполняется закон сохранения векторного тока $\partial j_{\mu} / \partial x_{\mu}=0$, где $j_{\mu}(x)=\bar{\psi}(x) \gamma_{\mu} \psi(x)-4$-вектор тока, $\mu=0,1,2,3, \psi(x)$ - Дирака поле электрона ( $x-$ пространственно-временная точка), $\gamma_{\mu}-$ Дирака матрицы, $\bar{\psi}=\psi^{+} \gamma_{0}-$ эрмитово сопряженное поле. Наряду с векторным полем, в квантовой электродинамике можно также рассмотреть аксиальный ток $j_{\mu 5}=\bar{\psi}(x) \gamma_{\mu} \gamma_{5} \psi(x)$, где $\gamma_{5}=i \gamma_{0} \gamma_{1} \gamma_{2} \gamma_{3}$. В силу Дирака уравнения дивергенция аксиального тока \[ \partial j_{\mu 5} / \partial x_{\mu}=2 i m \bar{\psi} \gamma_{5} \psi \] где $m$ - масса электрона (используется система единиц, в $\mathrm{K}-$ рой $\hbar=c=0$ ). Из этого уравнения следует, что в пределе нулевой массы электрона аксиальный ток сохраняется, что является отражением теории киральной симметрии. Однако более аккуратное исследование показывает, что этот вывод неверен. Действительно, в определении аксиального тока стоит произведение антикоммутирующих операторов $\psi$ и $\bar{\psi}$, взятых в одной точке $x$. Такое произведение нуждается в доопределении (регуляризации). Если ее провести так, чтобы не нарушить закон сохранения векторного тока, то оказывается, что правильное выражение для дивергенции аксиального тока принимает вид \[ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} j_{\mu 5}(x)=2 i m \bar{\psi}(x) \gamma_{5} \psi(x)+\frac{e^{2}}{16 \pi^{2}} \varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} F_{\alpha \beta} F_{\gamma \delta}, \] где $e$ - заряд электрона $\left(e^{2} \approx 1 / 137\right), F_{\alpha \beta}-$ тензор напряженности электромагнитного поля, $\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}-$ абсолютно антисимметричный тензор, $\varepsilon^{0123}=1$. Таким образом, аксиальный ток не сохраняется даже в пределе безмассового электрона. Это явление называется аксиальной аномалией (см. [1]). Аналогичная аксиальная А. возникает в любой калибровочной теории поля и, в частности, в квантовой хромодинамике, где дивергенция аксиального тока кварков имеет вид, аналогичный (1) с напряженностью глюонного поля $G_{\mu \nu}^{a}(x)(a=1, \ldots, 8$ - цветовой индекс) и безразмерной константой связи сильного взаимодействия (цветовым зарядом) $g$ вместо напряженности электромагнитного поля и электрич. заряда. Другой важный пример - дилатационная аномалия. Любая квантовая теория поля, в лагранжиане к-рой нет размерных констант, обладает масштабной инвариантностью (скейлингом), то есть инвариантностью относительно растяжения координат $x_{\mu} \rightarrow \lambda x_{\mu}$ с одновременным умножением операторов полей на множитель $\lambda$ в степени, равной размерности поля. Согласно Нетер теореме, такой инвариантности в классич. теории поля отвечает сохраняющийся дилатационный ток \[ D_{\mu}(x)=x^{v} \theta_{\mu v}(x), \] где $\theta_{\mu \nu}-$ симметрич. тензор энергии-импульса теории. Действительно, в силу уравнений движения тензор энергии-импульса сохраняется $\left(\partial \theta_{\mu \nu} / \partial x_{\mu}=0\right)$, так что дивергенция дилатационного тока равна следу тензора энергии-импульса, $\partial D_{\mu} / \partial x_{\mu}=\theta_{\mu}^{\mu}$, причем последняя величина равна нулю. Однако квантовая теория с безразмерной константой связи содержит логарифмич. ультрафиолетовые расходимости, к-рые необходимо регуляризовать и перенормировать. В результате конечные регуляризованные выражения оказываются зависящими от нек-рой размерной величины импульса нормировки, или параметра шкалы, и масштабная инвариантность нарушается. Таким образом, с учетом квантовых эффектов $\partial D_{\mu} / \partial x_{\mu}=\theta_{\mu}^{\mu} \neq 0$. Напр., в квантовой хромодинамике (в пределе нулевой массы кварков) след тензора энергии-импульса пропорционален квадрату напряженности глюонного поля (см. [2]). В современной теории элементарных частиц и квантовой теории поля А. играют важную роль. В частности, аксиальная А. типа (1) позволяет вычислить вероятность распада $\pi^{0}$-мезона на два фотона, поскольку, согласно токовой алгебре, поле $\pi^{0}$ совпадает с дивергенцией аксиального поля кварков. Так как, согласно (1), амплитуда процесса пропорциональна сумме квадратов зарядов кварков, составляющих $\pi^{0}$-мезон, то из сравнения теоретически вычисленного времени жизни $\pi^{0}$ с его экспериментальным значением можно определить заряды кварков. Это сопоставление было одним из аргументов в пользу введения дополнительного квантового числа, характеризующего кварки, - цвета. Другой пример - аксиальная А. в электрослабом взаимодействии. В отличие от квантовой электродинамики, в этой теории аксиальный ток непосредственно входит в лагранжиан взаимодействия и, таким образом, взаимодействует с калибровочным полем. Поэтому наличие А. ведет к внутренней противоречивости теории, напр. к отсутствию перенормируемости. Между тем в стандартной теории электрослабого взаимодействия лептоны и кварки внутри одного поколения фермионов вносят в А. вклады, равные по величине. но противоположные по знаку. Необходимость внутренней согласованности теории (то есть ее перенормируемости) требует сокращения А. Отсюда вытекает, что должно быть одинаковое число дублетов кварков и лептонов. В настоящее время действительно обнаружено по три дублета лептонов и кварков. Необходимость существования $c$-кварка, а позднее $t$-кварка, вытекающая из требования сокращения А., была осознана до экспериментального обнаружения этих частиц. Аналогичные ограничения возникают и для моделей великого объединения взаимодействий. В квантовой хромодинамике существует проблема нонета псевдоскалярных мезонов. Из них восемь $\left(\pi^{ \pm}, \pi^{0}, \mathrm{~K}^{ \pm}, \mathrm{K}^{0}\right.$, $\widetilde{\mathbf{K}}^{0}, \eta$ ) находят как псевдоголдстоуновские бозоны (см. Голдстоуна теорема), связанные со спонтанным нарушением почти точной киральной симметрии исходного лагранжиана квантовой хромодинамики. Девятый псевдоскалярный мезон $\eta^{\prime}$ гораздо тяжелее остальных восьми и не укладывается в эту схему. Трудность разрешается тем, что аксиальный ток, имеющий квантовые числа $\eta^{\prime}$-мезона, не сохраняется даже в пределе безмассовых кварков из-за аксиальной А. Большая масса $\eta^{\prime}$-мезона является указанием на то, что в вакууме квантовой хромодинамике существенны такие флуктуации глюонного поля $G_{\mu \nu}^{a}$, для к-рых величина \[ Q_{t}=\frac{g^{2}}{64 \pi^{2}} \int d t d x \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} G_{\mu \nu}^{a}(t, x) G_{\rho \sigma}^{a}(t, x), \] называемая топологическим зарядом, отлична от нуля. Эти флуктуации не учитываются обычной теорией возмущений, для к-рой величина $Q_{t}=0$. Таким образом, в вакууме квантовой хромодинамики существенную роль должны играть флуктуации нового типа, напр. инстантоны.