ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Неголономные связи - раздел механики, изучающий движение систем твердых тел с идеальными по Лагранжу неголономными связями (накладывающими ограничения не только на координаты, но и на скорости точек). Исторически первым и наиболее содержательным примером механич. системы с идеальными неголономными связями является задача о движении твердого тела по поверхности без скольжения (см. ниже). Другими примерами являются задачи Чаплыгина и Суслова. Задача Чаплыгина (см. [1]). Твердое тело («сани») опирается на горизонтальную плоскость двумя свободно скользящими ножками и точкой $C$ прикосновения режущего колесика (закругленного лезвия). Уравнение неголономной связи \[ \dot{x} \sin \varphi-\dot{y} \cos \varphi=0 \] $(x$ и $y-$ декартовы координаты точки $C$ на плоскости, $\varphi-$ угол плоскости колесика с осью абсцисс) выражает кинематич. условие, что скорость точки $C$ тела в любой момент времени направлена вдоль плоскости колесика. Собственно «санями» называется частный случай, когда центр масс тела лежит в плоскости колесика. При любом расположении центра масс уравнения движения тяжелого тела по горизонтальной плоскости интегрируется в квадратурах. Задача Суслова (см. [2]). Тяжелое твердое тело движется вокруг неподвижной точки и неизменно соединено с одним концом длинной, гибкой и не поддающейся кручению нити, другой конец к-рой закреплен неподвижно. Пусть касательная к нити в точке $C$ соединения ее с телом постоянно проходит через точку опоры $O$. Тогда в каждый момент времени проекция мгновенной угловой скорости тела $\omega$ на ось $О С$, фиксированную в теле, равна нулю $(\omega)_{O C}=0$. Это кинематич. условие представляет идеальную неголономную связь. Задача интегрируется в гипергеометрич. функциях в случае, когда точка $O$ совпадает с центром масс тела, и в эллиптич. функциях - когда центр масс расположен в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, построенного для точки $O$. Движение твердого тела по поверхности без скольжения. Твердое тело, ограниченное выпуклой поверхностью, касается неподвижной опорной поверхности не более, чем в одной точке. Уравнения движения тела, отнесенные к жестко связанной с телом подвижной системе координат с началом в центре масс $G$ тела, имеют вид: \[ \begin{gathered} m \dot{v}+\omega \times m v=F+R, \\ \Theta \dot{\omega}+\omega \times \Theta \omega=M+r \times R . \end{gathered} \] Здесь $m$ - масса тела, $\boldsymbol{v}-$ скорость точки $G, \omega-$ угловая скорость, $\boldsymbol{R}$ - реакция плоскости, $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{M}$ - соответственно главный вектор и главный момент внешних активных сил при приведении к точке $G, \Theta$ - центральный тензор инерции, $\boldsymbol{r}-$ радиус-вектор точки касания тела с опорной поверхностью. Условие, что мгновенная скорость этой точки тела равна нулю: \[ \boldsymbol{v}+\omega \times \boldsymbol{r}=0 \] представляет в скалярной записи два неголономных и одно конечное уравнение связи. Наиболее подробно изучены частные задачи: движение однородного шара по поверхности 2-го порядка (см. [4]), движение тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости. Для тяжелого тела на плоскости \[ \left.\begin{array}{l} \boldsymbol{F}=-m g \gamma, \quad \boldsymbol{M}=0, \\ \gamma=-\frac{\operatorname{grad} f(\boldsymbol{r})}{|\operatorname{grad} f(\boldsymbol{r})|}, \end{array}\right\} \] где $g$ - ускорение свободного падения, $f(\boldsymbol{r})$ - уравнение поверхности тела. Уравнения (1) - (4) образуют замкнутую систему уравнений относительно $\boldsymbol{v}, \omega, \boldsymbol{r}$. Классич. случаи интегрируемости: тело вращения, ограниченное круговым ребром с острым краем (обруч) (см. [3], [5]); шар с трехосным центральным эллипсоидом инерции, центр к-рого совпадает с геометрич. центром шара (см. [8]). Лит.: [1] Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 15-25; [2] Суслов Г. К., Теоретическая механика, М.-Л., 1946; [3] Раус Э. Дж., Динамика системы твердых тел, т. 2, пер. с англ., М., 1983; [4] Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 57-75; [5] Аппель П., Теоретическая механика, пер. с франц., т. 2, М., 1960; [6] Мак-Миллан В. Д., Динамика твердого тела, пер. с англ., М., 1951; [7] Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Динамика неголономных систем, М., 1967; [8] Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 76-101. А. В. Карапетян, А. С. Сумбатов.

Неголономные связи - раздел механики, изучающий движение систем твердых тел с идеальными по Лагранжу неголономными связями (накладывающими ограничения не только на координаты, но и на скорости точек). Исторически первым и наиболее содержательным примером механич. системы с идеальными неголономными связями является задача о движении твердого тела по поверхности без скольжения (см. ниже). Другими примерами являются задачи Чаплыгина и Суслова. Задача Чаплыгина (см. [1]). Твердое тело («сани») опирается на горизонтальную плоскость двумя свободно скользящими ножками и точкой $C$ прикосновения режущего колесика (закругленного лезвия). Уравнение неголономной связи \[ \dot{x} \sin \varphi-\dot{y} \cos \varphi=0 \] $(x$ и $y-$ декартовы координаты точки $C$ на плоскости, $\varphi-$ угол плоскости колесика с осью абсцисс) выражает кинематич. условие, что скорость точки $C$ тела в любой момент времени направлена вдоль плоскости колесика. Собственно «санями» называется частный случай, когда центр масс тела лежит в плоскости колесика. При любом расположении центра масс уравнения движения тяжелого тела по горизонтальной плоскости интегрируется в квадратурах. Задача Суслова (см. [2]). Тяжелое твердое тело движется вокруг неподвижной точки и неизменно соединено с одним концом длинной, гибкой и не поддающейся кручению нити, другой конец к-рой закреплен неподвижно. Пусть касательная к нити в точке $C$ соединения ее с телом постоянно проходит через точку опоры $O$. Тогда в каждый момент времени проекция мгновенной угловой скорости тела $\omega$ на ось $О С$, фиксированную в теле, равна нулю $(\omega)_{O C}=0$. Это кинематич. условие представляет идеальную неголономную связь. Задача интегрируется в гипергеометрич. функциях в случае, когда точка $O$ совпадает с центром масс тела, и в эллиптич. функциях - когда центр масс расположен в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, построенного для точки $O$. Движение твердого тела по поверхности без скольжения. Твердое тело, ограниченное выпуклой поверхностью, касается неподвижной опорной поверхности не более, чем в одной точке. Уравнения движения тела, отнесенные к жестко связанной с телом подвижной системе координат с началом в центре масс $G$ тела, имеют вид: \[ \begin{gathered} m \dot{v}+\omega \times m v=F+R, \\ \Theta \dot{\omega}+\omega \times \Theta \omega=M+r \times R . \end{gathered} \] Здесь $m$ - масса тела, $\boldsymbol{v}-$ скорость точки $G, \omega-$ угловая скорость, $\boldsymbol{R}$ - реакция плоскости, $\boldsymbol{F}$ и $\boldsymbol{M}$ - соответственно главный вектор и главный момент внешних активных сил при приведении к точке $G, \Theta$ - центральный тензор инерции, $\boldsymbol{r}-$ радиус-вектор точки касания тела с опорной поверхностью. Условие, что мгновенная скорость этой точки тела равна нулю: \[ \boldsymbol{v}+\omega \times \boldsymbol{r}=0 \] представляет в скалярной записи два неголономных и одно конечное уравнение связи. Наиболее подробно изучены частные задачи: движение однородного шара по поверхности 2-го порядка (см. [4]), движение тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости. Для тяжелого тела на плоскости \[ \left.\begin{array}{l} \boldsymbol{F}=-m g \gamma, \quad \boldsymbol{M}=0, \\ \gamma=-\frac{\operatorname{grad} f(\boldsymbol{r})}{|\operatorname{grad} f(\boldsymbol{r})|}, \end{array}\right\} \] где $g$ - ускорение свободного падения, $f(\boldsymbol{r})$ - уравнение поверхности тела. Уравнения (1) - (4) образуют замкнутую систему уравнений относительно $\boldsymbol{v}, \omega, \boldsymbol{r}$. Классич. случаи интегрируемости: тело вращения, ограниченное круговым ребром с острым краем (обруч) (см. [3], [5]); шар с трехосным центральным эллипсоидом инерции, центр к-рого совпадает с геометрич. центром шара (см. [8]). Лит.: [1] Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 15-25; [2] Суслов Г. К., Теоретическая механика, М.-Л., 1946; [3] Раус Э. Дж., Динамика системы твердых тел, т. 2, пер. с англ., М., 1983; [4] Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 57-75; [5] Аппель П., Теоретическая механика, пер. с франц., т. 2, М., 1960; [6] Мак-Миллан В. Д., Динамика твердого тела, пер. с англ., М., 1951; [7] Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Динамика неголономных систем, М., 1967; [8] Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 1, М.-Л., 1948, с. 76-101. А. В. Карапетян, А. С. Сумбатов.