ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА

однопараметрическая полугруппа отображений, описывающая марковскую (в общем случае, необратимую) эволюцию открытой системы. Возможны два эквивалентных способа задания Д. П.- в пространстве состояний и в алгебре наблюдаемых системы (см. Наблюдаемых алгебра). Пусть для определенности задана алгебра Неймана $\mathscr{A}$ в гильбертовом пространстве $H$ с единичным оператором I. Динамической полугруппой называется семейство $\left\{\Phi_{i} ; \geqslant 0\right\}$ отображений алгебры . $d$ в себя, удовлетворяющее условиям: 1) $\Phi_{0}$ - тождественное отображение; 2) $\Phi_{t}$ - нормальное вполне положительное отображение такое, что $\Phi_{t}(I)=I$ для любого $t>0$; 3) $\Phi_{t} \Phi_{s}=\Phi_{t+s}$ для $t, s \geqslant 0$; 4) $\Phi_{t}(X) \rightarrow X$ при $t \rightarrow 0$ для любого $X \in d$ в ультраслабой операторной топологии. Если .d - коммутативная алгебра функций на нек-ром «фазовом пространстве» $\mathscr{E}$, то это соответствует полугруппе переходных операторов в теории марковских случайных процессов; если же . операторов в гильбертовом пространстве $H$, то говорят о квантовой динамической полугруппе. Важной проблемой математич. теории Д. П. является характеризация инфинитезимального оператора $\mathscr{\varphi}$, к-рый определяется формулой \[ \mathscr{L}(X)=\lim _{t \rightarrow 0+} t^{-1}\left[\Phi_{t}(X)-X\right] \] где имеется в виду предел в ультраслабой операторной топологии. Если область определения $D(\mathscr{L})$ есть *-подалгебра .d, то $\mathscr{\rho}$ является вполне диссипативным отображением таким, что $\varphi(I)=0$ (см. Диссипативное отображение). Инфинитезимальные операторы полностью описаны лишь для непрерывных по норме Д. п. В этом случае $\varphi$ является ограниченным отображением в .d вида \[ \mathscr{L}(X)=i[H, X]+\Phi(X)-\frac{1}{2}\{\Phi(I) X+X \Phi(I)\}, \quad X \in \mathscr{A}, \] где $\Phi$ - вполне положительное отображение в .ø, $\mathrm{H}$ - самосопряженный оператор из ./ (см. [2]). Для квантовой Д. П. это сводится к формуле Линдблада: \[ \mathscr{L}(X)=i[H, X]+\sum_{j}\left\{L_{j}^{*} X L_{j}-\frac{1}{2}\left(L_{j}^{*} L_{j} X+X L_{j}^{*} L_{j}\right)\right\}, \] где $H=H^{*}, L_{j}, \Sigma L_{j}^{*} L_{j} \in \mathfrak{B}(H)(\mathrm{cм}$. [7], [5]). В физич. приложениях квантовые Д. п. возникают как решения марковского управляющего уравнения \[ \frac{d}{d t} \Phi_{t}(X)=\mathscr{P}\left(\Phi_{t}(X)\right) \] к-рое получается при рассмотрении взаимодействия квантовой открытой системы с резервуаром в марковском приближении (см. [1], [3]). Формулы (1), (2) дают наиболее общий вид марковского управляющего уравнения, согласующийся с вероятностной интерпретацией квантовой механики. В конкретных моделях операторы $H, L_{j}$ в соотношениях (1), (2) определяются гамильтонианом взаимодействия и состоянием резервуара. Эргодич. свойства Д. П. описывают в марковском приближении процесс релаксации открытой системы к равновесному состоянию (см. [4]). В общем плане естественна постановка обратной проблемы расширения Д. П. до группы автоморфизмов, то есть представления марковской динамики квантовой системы в виде проекции обратимой динамики системы, взаимодействующей с окружением (см. [6]). Возможность такого расширения, означающая согласованность понятия Д. П. с принципами статистич. механики, обуславливается, главным образом, свойством полной положительности. Лит.: [1] Alicki R., Lendi K., "Lect. Notes in Phys.», 1987, v. 286; [2] Christensen E., Evans D. E., "J. Lond. Math. Soc.", 1979, v. 20, p. 358-68; [3] Davies E. B., Quantum theory of open systems, L.- N.Y., 1976; [4] Frigerio A., «Commun. Math. Phys.», 1978, v. 63, p. 269-76; [5] Gorini V. [a.o.], «Rep. Math. Phys.», 1978, v. 13, p. 149-73; [6] Kummerer B., «J. Funct. Anal.», 1985, v. 63, p. 139-77; [7] Lindblad G., "Comm. Math. Phys.», 1979, v. 65, $\begin{array}{ll}\text { p. 281-94. } & \text { А. С. Холево. }\end{array}$

однопараметрическая полугруппа отображений, описывающая марковскую (в общем случае, необратимую) эволюцию открытой системы. Возможны два эквивалентных способа задания Д. П.- в пространстве состояний и в алгебре наблюдаемых системы (см. Наблюдаемых алгебра). Пусть для определенности задана алгебра Неймана $\mathscr{A}$ в гильбертовом пространстве $H$ с единичным оператором I. Динамической полугруппой называется семейство $\left\{\Phi_{i} ; \geqslant 0\right\}$ отображений алгебры . $d$ в себя, удовлетворяющее условиям: 1) $\Phi_{0}$ - тождественное отображение; 2) $\Phi_{t}$ - нормальное вполне положительное отображение такое, что $\Phi_{t}(I)=I$ для любого $t>0$; 3) $\Phi_{t} \Phi_{s}=\Phi_{t+s}$ для $t, s \geqslant 0$; 4) $\Phi_{t}(X) \rightarrow X$ при $t \rightarrow 0$ для любого $X \in d$ в ультраслабой операторной топологии. Если .d - коммутативная алгебра функций на нек-ром «фазовом пространстве» $\mathscr{E}$, то это соответствует полугруппе переходных операторов в теории марковских случайных процессов; если же . операторов в гильбертовом пространстве $H$, то говорят о квантовой динамической полугруппе. Важной проблемой математич. теории Д. П. является характеризация инфинитезимального оператора $\mathscr{\varphi}$, к-рый определяется формулой \[ \mathscr{L}(X)=\lim _{t \rightarrow 0+} t^{-1}\left[\Phi_{t}(X)-X\right] \] где имеется в виду предел в ультраслабой операторной топологии. Если область определения $D(\mathscr{L})$ есть *-подалгебра .d, то $\mathscr{\rho}$ является вполне диссипативным отображением таким, что $\varphi(I)=0$ (см. Диссипативное отображение). Инфинитезимальные операторы полностью описаны лишь для непрерывных по норме Д. п. В этом случае $\varphi$ является ограниченным отображением в .d вида \[ \mathscr{L}(X)=i[H, X]+\Phi(X)-\frac{1}{2}\{\Phi(I) X+X \Phi(I)\}, \quad X \in \mathscr{A}, \] где $\Phi$ - вполне положительное отображение в .ø, $\mathrm{H}$ - самосопряженный оператор из ./ (см. [2]). Для квантовой Д. П. это сводится к формуле Линдблада: \[ \mathscr{L}(X)=i[H, X]+\sum_{j}\left\{L_{j}^{*} X L_{j}-\frac{1}{2}\left(L_{j}^{*} L_{j} X+X L_{j}^{*} L_{j}\right)\right\}, \] где $H=H^{*}, L_{j}, \Sigma L_{j}^{*} L_{j} \in \mathfrak{B}(H)(\mathrm{cм}$. [7], [5]). В физич. приложениях квантовые Д. п. возникают как решения марковского управляющего уравнения \[ \frac{d}{d t} \Phi_{t}(X)=\mathscr{P}\left(\Phi_{t}(X)\right) \] к-рое получается при рассмотрении взаимодействия квантовой открытой системы с резервуаром в марковском приближении (см. [1], [3]). Формулы (1), (2) дают наиболее общий вид марковского управляющего уравнения, согласующийся с вероятностной интерпретацией квантовой механики. В конкретных моделях операторы $H, L_{j}$ в соотношениях (1), (2) определяются гамильтонианом взаимодействия и состоянием резервуара. Эргодич. свойства Д. П. описывают в марковском приближении процесс релаксации открытой системы к равновесному состоянию (см. [4]). В общем плане естественна постановка обратной проблемы расширения Д. П. до группы автоморфизмов, то есть представления марковской динамики квантовой системы в виде проекции обратимой динамики системы, взаимодействующей с окружением (см. [6]). Возможность такого расширения, означающая согласованность понятия Д. П. с принципами статистич. механики, обуславливается, главным образом, свойством полной положительности. Лит.: [1] Alicki R., Lendi K., "Lect. Notes in Phys.», 1987, v. 286; [2] Christensen E., Evans D. E., "J. Lond. Math. Soc.", 1979, v. 20, p. 358-68; [3] Davies E. B., Quantum theory of open systems, L.- N.Y., 1976; [4] Frigerio A., «Commun. Math. Phys.», 1978, v. 63, p. 269-76; [5] Gorini V. [a.o.], «Rep. Math. Phys.», 1978, v. 13, p. 149-73; [6] Kummerer B., «J. Funct. Anal.», 1985, v. 63, p. 139-77; [7] Lindblad G., "Comm. Math. Phys.», 1979, v. 65, $\begin{array}{ll}\text { p. 281-94. } & \text { А. С. Холево. }\end{array}$