ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА С ЧИСТО ТОЧЕЧНЫМ СПЕКТРОМ

важный для эргодической теории класс динамических систем. Пусть $\left\{S^{t}\right\}$ - эргодическая (см. Эргодичность) однопараметрич. группа преобразований вероятностного пространства $(\Omega, \mathscr{F}, \mathrm{P})$ и $\left\{U^{t}\right\}-$ сопряженная с ней группа унитарных операторов. Д. с. с чисто точечным спектром определяется тем, что $\left\{U^{t}\right\}$ имеет полную систему собственных функций. В этом случае каждое собственное значение имеет кратность 1 и их множество образует абелеву группу. Такие Д. с. играют важную роль в теории интегрируемых Д. с. Так, в случае интегрируемости гамильтоновой системы в смысле Арнольда-Лиувилля на почти каждой эргодич. компоненте возникает Д. с. с чисто точечным спектром. Для рассматриваемых Д. с. спектр образует полную систему метрич. инвариантов (см. Изоморфизм динамических систем). Простейший пример стационарного случайного процесса, порождающего Д. с. с чисто точечным спектром, имеет вид \[ X(t)=\sum a_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\varphi_{s}\right)+\sum b_{s} \sin \left(\omega_{s} t+\varphi_{s}\right), \] где $a_{s}, b_{s}$ - постоянные, а фазы $\varphi_{s}$ случайны. Условие стационарности и эргодичности накладывает жесткие ограничения на совместные распределения фаз (см. [2]).

важный для эргодической теории класс динамических систем. Пусть $\left\{S^{t}\right\}$ - эргодическая (см. Эргодичность) однопараметрич. группа преобразований вероятностного пространства $(\Omega, \mathscr{F}, \mathrm{P})$ и $\left\{U^{t}\right\}-$ сопряженная с ней группа унитарных операторов. Д. с. с чисто точечным спектром определяется тем, что $\left\{U^{t}\right\}$ имеет полную систему собственных функций. В этом случае каждое собственное значение имеет кратность 1 и их множество образует абелеву группу. Такие Д. с. играют важную роль в теории интегрируемых Д. с. Так, в случае интегрируемости гамильтоновой системы в смысле Арнольда-Лиувилля на почти каждой эргодич. компоненте возникает Д. с. с чисто точечным спектром. Для рассматриваемых Д. с. спектр образует полную систему метрич. инвариантов (см. Изоморфизм динамических систем). Простейший пример стационарного случайного процесса, порождающего Д. с. с чисто точечным спектром, имеет вид \[ X(t)=\sum a_{s} \cos \left(\omega_{s} t+\varphi_{s}\right)+\sum b_{s} \sin \left(\omega_{s} t+\varphi_{s}\right), \] где $a_{s}, b_{s}$ - постоянные, а фазы $\varphi_{s}$ случайны. Условие стационарности и эргодичности накладывает жесткие ограничения на совместные распределения фаз (см. [2]).