АНОМАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

число, равное отклонению степени однородности взаимодействующего перенормированного квантового поля при масштабных преобразованиях 4-координат $x_{\mu} \rightarrow \lambda^{-1} x_{\mu}$ или 4-импульсов $p_{\mu} \rightarrow$ $\rightarrow \lambda p_{\mu}, \mu=0,1,2,3$ (где $\lambda-$ некоторая постоянная величина) от обычной (канонической) размерности свободного поля (в системе $\hbar=c=1$). Каноническая размерность поля определяется его одновременными перестановочными соотношениями; в импульсных единицах она равна 1 для скалярного поля и 3/2 для поля Дирака. Если для взаимодействующего поля $\varphi(p)$ справедливо соотношение $\varphi(\lambda p)=\lambda^{d} \varphi(p)$ (где число $d$ характеризует степень однородности поля $\varphi$), то А. р. для скалярного поля $\gamma=d-1$, а для поля Дирака $\gamma=d-3 / 2$. А. р. имеет динамич. природу - зависит от величины и характера действующих сил. Это можно проиллюстрировать на примере поведения волновой функции частицы на малых расстояниях $r$ от центра сил в квантовой механике. Если потенциал $V(r)$ в уравнении Шредингера растет при $r \rightarrow 0$ как $g r^{-2}$ (где $g$ - нек-рая постоянная), что соответствует масштабной инвариантности на малых расстояниях, то волновая функция частицы в состоянии с орбитальным квантовым числом $l$ ведет себя как $\psi_{l}(r) \sim r^{l+\gamma}$, где А. р. \[ \gamma=\sqrt{(l+1 / 2)^{2}+2 m g}-1 / 2-l \] ($m$ - масса), то есть существенно отличается от поведения волновой функции свободной частицы \[ \psi_{l}(r) \sim r^{l} \] Квантовая теория поля обладает масштабной инвариантностью, если уравнение движения поля $\varphi$ не содержит размерных параметров (типа массы), а константа связи $g$ принимает критич. значение $g_{0}$, при к-ром бета-функция в уравнении ренормализационной группы обращается в нуль. В конформно-инвариантной теории поля, характеризующейся исчезновением следа тензора энергии-импульса при $g=g_{0}$, А. р. является сохраняющейся величиной, зависящей от константы $g_{0}$. Из уравнений ренормализационной группы следует, что поведение $n$-частичной функции Грина $\Gamma\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ при изменении масштаба импульсов в области, где все скалярные произведения $p_{i} p_{j}, i, j=1, \ldots, n$, одного порядка ( $\left.p^{2}\right)$ и много больше квадратов масс частиц, эквивалентно (с точностью до изменения константы взаимодействия) поведению при изменении нормировочного импульса $x$. Если в пределе $p^{2} \rightarrow \infty$ инвариантный заряд $\bar{g} \rightarrow g_{0}$, то \[ \Gamma\left(p^{2}, g\right) \rightarrow\left(\frac{p^{2}}{x^{2}}\right)^{\gamma\left(g_{0}^{2}\right)} \Gamma\left(x^{2}, g_{0}\right), \] а показатель степени $\gamma$ выражается через А. р. операторов всех полей, образующих данную функцию Грина. Понятие А. р. в обобщенном смысле широко используется также в квантовой хромодинамике, несмотря на то, что эта теория не имеет фиксированной критич. точки $g_{0}$, а обладает свойством асимптотической свободы. А. р. приближенно имеет смысл, если можно пренебречь массами частиц по сравнению с характерными масштабами внешних импульсов, входящих в задачу. В такой области будет осуществляться масштабная инвариантность. Так, амплитуды $M$ в квантовой хромодинамике, определенные на масштабах $x_{0}^{2}$, преобразуются при изменении масштаба $x_{0}^{2} \rightarrow x^{2}$ в соответствии с требованиями ренормализационной группы: \[ M\left(x^{2}\right)=M\left(x_{0}^{2}\right) \exp \int_{x_{0}^{2}}^{x^{2}} \bar{\gamma}\left(x^{\prime 2}\right) \frac{d x^{\prime 2}}{x^{\prime 2}} . \] Зависимость $\bar{\gamma}$ от $x^{2}$ определяется инвариантным зарядом теории, и если он меняется медленно, то $\bar{\gamma}$ тоже меняется медленно. В частности, при постоянном $\bar{\gamma}$ формула (2) переходит в формулу (1). Поэтому в обобщенном смысле $\bar{\gamma}$ также может быть названа аномальной размерностью. Так же, как в формуле (1), эта величина выражается через А. р. всех операторов, входящих в амплитуду $M$. В квантовой хромодинамике принято и несколько иное определение А. р. Поскольку $\bar{\gamma}$ обращается в нуль при отсутствии взаимодействия, то удобно определить \[ \gamma=\lim _{\alpha_{s} \rightarrow 0} \frac{\bar{\gamma}\left(\alpha_{s}\right)}{\alpha_{s}} 4 \pi \] где $\alpha_{s}\left(x^{2}\right)-$ эффективный заряд квантовой хромодинамики, а величина $\gamma$ в первом приближении уже не зависит от импульсов. Выражение (2) при этом приобретает вид \[ M\left(x^{2}\right)=M\left(x_{0}^{2}\right)\left(\frac{\alpha_{s}\left(x_{0}^{2}\right)}{\alpha_{s}\left(x^{2}\right)}\right)^{\gamma / b}, \] где $b=11-(2 / 3) N_{f}$, а $N_{f}-$ число ароматов кварков. А. р. может проявиться при изучении функций Грина квантовой теории поля в глубоко евклидовой области, то есть при больших пространственноподобных импульсах. Примером физич. процесса, при к-ром наблюдалась приближенная масштабная инвариантность, может служить глубоко неупругий процесс рассеяния электрона на протоне. В этом случае моменты структурной функции протона изменяются в зависимости от квадрата переданного 4-импульса согласно формуле (4). Существует, однако, ряд величин, к-рые не могут приобретать А. р. Таковы все сохраняющиеся величины и их локальные токи, дивергенция к-рых равна нулю (напр. 4-вектор электромагнитного тока или тензор энергии-импульса). Понятие А. р. широко используется также в статистич. физике (в теории конденсированных сред) для описания поведения характеристик системы (плотности, теплоемкости, магнитной восприимчивости и др.) вблизи температуры фазового перехода $T=T_{c}$, когда длина корреляций $\xi \sim\left(T-T_{c}\right)^{-v}$ становится значительно больше атомных размеров и является единственным существенным параметром длины. Изучение А. р. различных характеристик позволяет судить о степени их зависимости от $\left(T-T_{c}\right)$, то есть о критич. индексах. Лит.: [1] Синай Я. Г., Теория фазовых переходов, М., 1980; [2] Ма Ш., Современная теория критических явлений, пер. с англ., М., 1980; [3] Андреев И. В., Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергиях, М., 1981; [4] Wilson K., «Phys. Rev.», 1969, v. 179, p. 1499; [5] Индурайн Ф., Квантовая хромодинамика, пер. $\begin{array}{ll}\text { с англ., М., } 1986 . & \text { А. В. Ефремов. }\end{array}$

число, равное отклонению степени однородности взаимодействующего перенормированного квантового поля при масштабных преобразованиях 4-координат $x_{\mu} \rightarrow \lambda^{-1} x_{\mu}$ или 4-импульсов $p_{\mu} \rightarrow$ $\rightarrow \lambda p_{\mu}, \mu=0,1,2,3$ (где $\lambda-$ некоторая постоянная величина) от обычной (канонической) размерности свободного поля (в системе $\hbar=c=1$). Каноническая размерность поля определяется его одновременными перестановочными соотношениями; в импульсных единицах она равна 1 для скалярного поля и 3/2 для поля Дирака. Если для взаимодействующего поля $\varphi(p)$ справедливо соотношение $\varphi(\lambda p)=\lambda^{d} \varphi(p)$ (где число $d$ характеризует степень однородности поля $\varphi$), то А. р. для скалярного поля $\gamma=d-1$, а для поля Дирака $\gamma=d-3 / 2$. А. р. имеет динамич. природу - зависит от величины и характера действующих сил. Это можно проиллюстрировать на примере поведения волновой функции частицы на малых расстояниях $r$ от центра сил в квантовой механике. Если потенциал $V(r)$ в уравнении Шредингера растет при $r \rightarrow 0$ как $g r^{-2}$ (где $g$ - нек-рая постоянная), что соответствует масштабной инвариантности на малых расстояниях, то волновая функция частицы в состоянии с орбитальным квантовым числом $l$ ведет себя как $\psi_{l}(r) \sim r^{l+\gamma}$, где А. р. \[ \gamma=\sqrt{(l+1 / 2)^{2}+2 m g}-1 / 2-l \] ($m$ - масса), то есть существенно отличается от поведения волновой функции свободной частицы \[ \psi_{l}(r) \sim r^{l} \] Квантовая теория поля обладает масштабной инвариантностью, если уравнение движения поля $\varphi$ не содержит размерных параметров (типа массы), а константа связи $g$ принимает критич. значение $g_{0}$, при к-ром бета-функция в уравнении ренормализационной группы обращается в нуль. В конформно-инвариантной теории поля, характеризующейся исчезновением следа тензора энергии-импульса при $g=g_{0}$, А. р. является сохраняющейся величиной, зависящей от константы $g_{0}$. Из уравнений ренормализационной группы следует, что поведение $n$-частичной функции Грина $\Gamma\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ при изменении масштаба импульсов в области, где все скалярные произведения $p_{i} p_{j}, i, j=1, \ldots, n$, одного порядка ( $\left.p^{2}\right)$ и много больше квадратов масс частиц, эквивалентно (с точностью до изменения константы взаимодействия) поведению при изменении нормировочного импульса $x$. Если в пределе $p^{2} \rightarrow \infty$ инвариантный заряд $\bar{g} \rightarrow g_{0}$, то \[ \Gamma\left(p^{2}, g\right) \rightarrow\left(\frac{p^{2}}{x^{2}}\right)^{\gamma\left(g_{0}^{2}\right)} \Gamma\left(x^{2}, g_{0}\right), \] а показатель степени $\gamma$ выражается через А. р. операторов всех полей, образующих данную функцию Грина. Понятие А. р. в обобщенном смысле широко используется также в квантовой хромодинамике, несмотря на то, что эта теория не имеет фиксированной критич. точки $g_{0}$, а обладает свойством асимптотической свободы. А. р. приближенно имеет смысл, если можно пренебречь массами частиц по сравнению с характерными масштабами внешних импульсов, входящих в задачу. В такой области будет осуществляться масштабная инвариантность. Так, амплитуды $M$ в квантовой хромодинамике, определенные на масштабах $x_{0}^{2}$, преобразуются при изменении масштаба $x_{0}^{2} \rightarrow x^{2}$ в соответствии с требованиями ренормализационной группы: \[ M\left(x^{2}\right)=M\left(x_{0}^{2}\right) \exp \int_{x_{0}^{2}}^{x^{2}} \bar{\gamma}\left(x^{\prime 2}\right) \frac{d x^{\prime 2}}{x^{\prime 2}} . \] Зависимость $\bar{\gamma}$ от $x^{2}$ определяется инвариантным зарядом теории, и если он меняется медленно, то $\bar{\gamma}$ тоже меняется медленно. В частности, при постоянном $\bar{\gamma}$ формула (2) переходит в формулу (1). Поэтому в обобщенном смысле $\bar{\gamma}$ также может быть названа аномальной размерностью. Так же, как в формуле (1), эта величина выражается через А. р. всех операторов, входящих в амплитуду $M$. В квантовой хромодинамике принято и несколько иное определение А. р. Поскольку $\bar{\gamma}$ обращается в нуль при отсутствии взаимодействия, то удобно определить \[ \gamma=\lim _{\alpha_{s} \rightarrow 0} \frac{\bar{\gamma}\left(\alpha_{s}\right)}{\alpha_{s}} 4 \pi \] где $\alpha_{s}\left(x^{2}\right)-$ эффективный заряд квантовой хромодинамики, а величина $\gamma$ в первом приближении уже не зависит от импульсов. Выражение (2) при этом приобретает вид \[ M\left(x^{2}\right)=M\left(x_{0}^{2}\right)\left(\frac{\alpha_{s}\left(x_{0}^{2}\right)}{\alpha_{s}\left(x^{2}\right)}\right)^{\gamma / b}, \] где $b=11-(2 / 3) N_{f}$, а $N_{f}-$ число ароматов кварков. А. р. может проявиться при изучении функций Грина квантовой теории поля в глубоко евклидовой области, то есть при больших пространственноподобных импульсах. Примером физич. процесса, при к-ром наблюдалась приближенная масштабная инвариантность, может служить глубоко неупругий процесс рассеяния электрона на протоне. В этом случае моменты структурной функции протона изменяются в зависимости от квадрата переданного 4-импульса согласно формуле (4). Существует, однако, ряд величин, к-рые не могут приобретать А. р. Таковы все сохраняющиеся величины и их локальные токи, дивергенция к-рых равна нулю (напр. 4-вектор электромагнитного тока или тензор энергии-импульса). Понятие А. р. широко используется также в статистич. физике (в теории конденсированных сред) для описания поведения характеристик системы (плотности, теплоемкости, магнитной восприимчивости и др.) вблизи температуры фазового перехода $T=T_{c}$, когда длина корреляций $\xi \sim\left(T-T_{c}\right)^{-v}$ становится значительно больше атомных размеров и является единственным существенным параметром длины. Изучение А. р. различных характеристик позволяет судить о степени их зависимости от $\left(T-T_{c}\right)$, то есть о критич. индексах. Лит.: [1] Синай Я. Г., Теория фазовых переходов, М., 1980; [2] Ма Ш., Современная теория критических явлений, пер. с англ., М., 1980; [3] Андреев И. В., Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергиях, М., 1981; [4] Wilson K., «Phys. Rev.», 1969, v. 179, p. 1499; [5] Индурайн Ф., Квантовая хромодинамика, пер. $\begin{array}{ll}\text { с англ., М., } 1986 . & \text { А. В. Ефремов. }\end{array}$