ДИРИХЛЕ ИНТЕГРАЛ

функционал, связанный с решением Дирихле задачи для Лапласа уравнения вариационным методом. Пусть $\Omega$ - ограниченная область в $\mathbb{R}^{n}$ с границей $\Gamma$ класса $C^{1}, x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, а функция $\boldsymbol{u}(x) \in W_{2}^{1}(\Omega)$ (пространству Соболева), определенная на $\Omega$ и интегрируемая с квадратом вместе со своей обобщенной производной. Интегралом Дирихле для функции $u(x)$ называется выражение \[ D[u]=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)^{2} d x \] Для нек-рой заданной на $\Gamma$ функции $\varphi(x)$ рассматривается множество $\pi_{\varphi}$ функций из $W_{2}^{1}(\Omega)$, к-рые удовлетворяют граничному условию $\left.u\right|_{x \in \Gamma}=\varphi$. Если множество $\pi_{\varphi}$ не пусто, то существует единственная функция $u_{0}(x) \in \pi_{\varphi}$, для к-рой \[ D\left[u_{0}\right]=\inf _{u \in \pi_{\varphi}} D[u] \] и эта функция является гармонической в области $\Omega$. Верно и обратное утверждение: если гармонич. функция $u_{0}(x)$ принадлежит множеству $\pi_{\varphi}$, то на ней достигается inf $D[u]$. Таким образом, $u_{0}(x)$ является обобщенным из $W_{2}^{1}(\Omega)$ решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Однако не для всякой функции $\varphi$ можно найти такую функцию $u_{0}(x)$. Существуют даже непрерывные на $\Gamma$ функции, для к-рых множество $\pi_{\varphi}$ пусто, то есть в пространстве $W_{2}^{1}(\Omega)$ не существует ни одной функции $u(x)$, удовлетворяющей условию $\left.u\right|_{x \in \Gamma}=\varphi$. Классич. решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с такой граничной функцией $ч$ не может иметь конечного Д. и. и не является обобщенным решением из пространства $W_{2}^{1}(\Omega)$. А. К. Гущин.

функционал, связанный с решением Дирихле задачи для Лапласа уравнения вариационным методом. Пусть $\Omega$ - ограниченная область в $\mathbb{R}^{n}$ с границей $\Gamma$ класса $C^{1}, x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, а функция $\boldsymbol{u}(x) \in W_{2}^{1}(\Omega)$ (пространству Соболева), определенная на $\Omega$ и интегрируемая с квадратом вместе со своей обобщенной производной. Интегралом Дирихле для функции $u(x)$ называется выражение \[ D[u]=\int_{\Omega} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right)^{2} d x \] Для нек-рой заданной на $\Gamma$ функции $\varphi(x)$ рассматривается множество $\pi_{\varphi}$ функций из $W_{2}^{1}(\Omega)$, к-рые удовлетворяют граничному условию $\left.u\right|_{x \in \Gamma}=\varphi$. Если множество $\pi_{\varphi}$ не пусто, то существует единственная функция $u_{0}(x) \in \pi_{\varphi}$, для к-рой \[ D\left[u_{0}\right]=\inf _{u \in \pi_{\varphi}} D[u] \] и эта функция является гармонической в области $\Omega$. Верно и обратное утверждение: если гармонич. функция $u_{0}(x)$ принадлежит множеству $\pi_{\varphi}$, то на ней достигается inf $D[u]$. Таким образом, $u_{0}(x)$ является обобщенным из $W_{2}^{1}(\Omega)$ решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Однако не для всякой функции $\varphi$ можно найти такую функцию $u_{0}(x)$. Существуют даже непрерывные на $\Gamma$ функции, для к-рых множество $\pi_{\varphi}$ пусто, то есть в пространстве $W_{2}^{1}(\Omega)$ не существует ни одной функции $u(x)$, удовлетворяющей условию $\left.u\right|_{x \in \Gamma}=\varphi$. Классич. решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с такой граничной функцией $ч$ не может иметь конечного Д. и. и не является обобщенным решением из пространства $W_{2}^{1}(\Omega)$. А. К. Гущин.