ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция рассеяния,- функция, вводимая для учета влияния сил вязкого трения на движение механической системы и характеризующая степень убывания механической энергии этой системы, а также вообще для учета перехода энергии упорядоченного движения в энергию неупорядоченного движения (в конечном счете - в тепловую); имеет размерность мощности. Д. ф. может быть построена для механич. систем, у к-рых скорости макроскопич. движений настолько малы, что силы сопротивления движению можно считать линейно зависящими от скоростей. Если положение такой системы определяется обобщенными координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$, то для нее Д. Ф. является квадратичной формой обобщенных скоростей $\dot{q}_{i}=d q_{i} / d t$ \[ F=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{s} \alpha_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \] где $\alpha_{i k}=\alpha_{k i}-$ размерные коэффициенты, зависящие в общем случае от координат $q_{i}$. Величина $F$ всегда положительна и численно равна половине полной механич. энергии $E$ системы, рассеивающейся в единицу времени: \[ F=\frac{1}{2}\left|\frac{d E}{d t}\right| . \] Зная Д. Ф., можно вычислить соответствующую каждой координате $q_{i}$ силу сопротивления \[ Q_{i}^{(R)}=-\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \] и составить дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевой форме: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=Q_{i}^{(R)}, \quad i=1,2, \ldots, s, \] где $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)-$ функция Лагранжа для данной системы. Д.ф. может также вводиться для характеристики сил внутреннего трения при движении сплошной среды (жидкости, газа, деформируемого твердого тела). В этом случае Д. ф.- квадратичная форма компонент тензора скоростей деформаций с коэффициентами, характеризующими вязкость среды. Напр., для изотропной среды Д. ф., отнесенная к единице объема, имеет вид \[ \Phi=\mu \sum_{i=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{i k}^{2}+\frac{1}{2}\left(\lambda-\frac{2}{3} \mu\right) \theta^{2}, \] где $\varepsilon_{i k}$ - компоненты тензора скоростей деформации (деформаций удлинения при $i=k$ и деформаций сдвига при $i \neq k), \theta=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}-$ скорость объемного расширения, $\mu$ и $\lambda-$ коэффициенты вязкости, характеризующие соответственно вязкость при сдвиге и вязкость при объемном расширении. В частности, для несжимаемой вязкой жидкости $(\theta=0)$ выражение $\Phi$, если учесть, что $\varepsilon_{i k}=\varepsilon_{k i}$, имеет вид \[ \Phi=\mu\left[\varepsilon_{11}^{2}+\varepsilon_{22}^{2}+\varepsilon_{33}^{2}+2\left(\varepsilon_{12}^{2}+\varepsilon_{23}^{2}+\varepsilon_{31}^{2}\right)\right], \] где $\mu$ - ньютонов коэффициент вязкости. Уравнения движения среды в компонентах напряжений имеют вид \[ \rho \frac{d v_{i}}{d t}=F_{i}+\frac{\partial \sigma_{i 1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \sigma_{i 2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \sigma_{i 3}}{\partial x_{3}}, \quad i=1,2,3, \] где $\rho$ - плотность, $x_{i}$ координаты, $v_{i}-$ проекции скорости, $F_{i}$ - проекции силы, действующей на единицу объема, $\sigma_{i k}$ - компоненты тензора напряжений. Если для данной среды Д. Ф. известна, то учесть влияние внутреннего трения можно, заменив в уравнениях движения все $\sigma_{i k}$ на $\sigma_{i k}+\sigma_{i k}^{\prime}$, где $\sigma_{i k}^{\prime}-$ компоненты «диссипативного» тензора напряжений, вычисляемые из равенств \[ \sigma_{i k}^{\prime}=\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{i k}} . \] В частности, для изотропной среды \[ \sigma_{11}^{\prime}=2 \mu \varepsilon_{11}+\left(\lambda-\frac{2}{3} \mu\right) \theta \quad \text { и т. д.; } \quad \sigma_{12}^{\prime}=2 \mu \varepsilon_{12} \quad \text { и т. д. } \] Понятие Д. ф. употребляется в применении и к немеханич. системам, когда уравнения движения могут быть записаны в лагранжевой форме. Так, напр., колебания электрич. тока $I_{i}$ в $i$-м контуре системы контуров могут быть записаны, как вышеприведенные уравнения Лагранжа, в к-рых под $q_{i}$ нужно понимать заряд $e_{i}$ на обкладках $i$-го конденсатора, под $\dot{q}_{i}-$ соответствующий ток $I_{i}=\frac{\partial e_{i}}{d t}$, под Д. Ф.- величину $R=\sum R_{i} \dot{e}_{i}^{2} / 2$, где $R_{i}$ - омич. сопротивление $i$-го контура. Тогда диссипативный член в правой части уравнения Лагранжа будет равен \[ Q_{i}^{R}=-\frac{\partial R}{\partial \dot{e}_{i}} \] Он характеризует в данном случае переход энергии упорядоченного тока в джоулево тепло. Понятие о Д.ф. используется при изучении движения диссипативных систем, в частности для учета влияния сопротивлений на малые колебания системы около ее положения равновесия, для исследования затухания колебаний в упругой среде, для учета тепловых потерь при затухании колебаний электрич. тока в системе контуров и др.

Функция рассеяния,- функция, вводимая для учета влияния сил вязкого трения на движение механической системы и характеризующая степень убывания механической энергии этой системы, а также вообще для учета перехода энергии упорядоченного движения в энергию неупорядоченного движения (в конечном счете - в тепловую); имеет размерность мощности. Д. ф. может быть построена для механич. систем, у к-рых скорости макроскопич. движений настолько малы, что силы сопротивления движению можно считать линейно зависящими от скоростей. Если положение такой системы определяется обобщенными координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{s}$, то для нее Д. Ф. является квадратичной формой обобщенных скоростей $\dot{q}_{i}=d q_{i} / d t$ \[ F=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{s} \alpha_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \] где $\alpha_{i k}=\alpha_{k i}-$ размерные коэффициенты, зависящие в общем случае от координат $q_{i}$. Величина $F$ всегда положительна и численно равна половине полной механич. энергии $E$ системы, рассеивающейся в единицу времени: \[ F=\frac{1}{2}\left|\frac{d E}{d t}\right| . \] Зная Д. Ф., можно вычислить соответствующую каждой координате $q_{i}$ силу сопротивления \[ Q_{i}^{(R)}=-\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \] и составить дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевой форме: \[ \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=Q_{i}^{(R)}, \quad i=1,2, \ldots, s, \] где $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)-$ функция Лагранжа для данной системы. Д.ф. может также вводиться для характеристики сил внутреннего трения при движении сплошной среды (жидкости, газа, деформируемого твердого тела). В этом случае Д. ф.- квадратичная форма компонент тензора скоростей деформаций с коэффициентами, характеризующими вязкость среды. Напр., для изотропной среды Д. ф., отнесенная к единице объема, имеет вид \[ \Phi=\mu \sum_{i=1}^{3} \sum_{k=1}^{3} \varepsilon_{i k}^{2}+\frac{1}{2}\left(\lambda-\frac{2}{3} \mu\right) \theta^{2}, \] где $\varepsilon_{i k}$ - компоненты тензора скоростей деформации (деформаций удлинения при $i=k$ и деформаций сдвига при $i \neq k), \theta=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}-$ скорость объемного расширения, $\mu$ и $\lambda-$ коэффициенты вязкости, характеризующие соответственно вязкость при сдвиге и вязкость при объемном расширении. В частности, для несжимаемой вязкой жидкости $(\theta=0)$ выражение $\Phi$, если учесть, что $\varepsilon_{i k}=\varepsilon_{k i}$, имеет вид \[ \Phi=\mu\left[\varepsilon_{11}^{2}+\varepsilon_{22}^{2}+\varepsilon_{33}^{2}+2\left(\varepsilon_{12}^{2}+\varepsilon_{23}^{2}+\varepsilon_{31}^{2}\right)\right], \] где $\mu$ - ньютонов коэффициент вязкости. Уравнения движения среды в компонентах напряжений имеют вид \[ \rho \frac{d v_{i}}{d t}=F_{i}+\frac{\partial \sigma_{i 1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \sigma_{i 2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \sigma_{i 3}}{\partial x_{3}}, \quad i=1,2,3, \] где $\rho$ - плотность, $x_{i}$ координаты, $v_{i}-$ проекции скорости, $F_{i}$ - проекции силы, действующей на единицу объема, $\sigma_{i k}$ - компоненты тензора напряжений. Если для данной среды Д. Ф. известна, то учесть влияние внутреннего трения можно, заменив в уравнениях движения все $\sigma_{i k}$ на $\sigma_{i k}+\sigma_{i k}^{\prime}$, где $\sigma_{i k}^{\prime}-$ компоненты «диссипативного» тензора напряжений, вычисляемые из равенств \[ \sigma_{i k}^{\prime}=\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_{i k}} . \] В частности, для изотропной среды \[ \sigma_{11}^{\prime}=2 \mu \varepsilon_{11}+\left(\lambda-\frac{2}{3} \mu\right) \theta \quad \text { и т. д.; } \quad \sigma_{12}^{\prime}=2 \mu \varepsilon_{12} \quad \text { и т. д. } \] Понятие Д. ф. употребляется в применении и к немеханич. системам, когда уравнения движения могут быть записаны в лагранжевой форме. Так, напр., колебания электрич. тока $I_{i}$ в $i$-м контуре системы контуров могут быть записаны, как вышеприведенные уравнения Лагранжа, в к-рых под $q_{i}$ нужно понимать заряд $e_{i}$ на обкладках $i$-го конденсатора, под $\dot{q}_{i}-$ соответствующий ток $I_{i}=\frac{\partial e_{i}}{d t}$, под Д. Ф.- величину $R=\sum R_{i} \dot{e}_{i}^{2} / 2$, где $R_{i}$ - омич. сопротивление $i$-го контура. Тогда диссипативный член в правой части уравнения Лагранжа будет равен \[ Q_{i}^{R}=-\frac{\partial R}{\partial \dot{e}_{i}} \] Он характеризует в данном случае переход энергии упорядоченного тока в джоулево тепло. Понятие о Д.ф. используется при изучении движения диссипативных систем, в частности для учета влияния сопротивлений на малые колебания системы около ее положения равновесия, для исследования затухания колебаний в упругой среде, для учета тепловых потерь при затухании колебаний электрич. тока в системе контуров и др.