ДИФФЕОМОРФИЗМ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЙ ГОМЕОМОРФИЗМ, ГЛАДКИЙ ГОМЕОМОРФИЗМ

дифференцируемый гомеоморфизм, гладкий гомеоморфизм, - взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение $f: M \rightarrow N$ дифференцируемого многообразия $M$ (напр., области в евклидовом пространстве) в дифференцируемое многообразие $N$, обратное к которому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если $f(M)=N$, то говорят, что $M$ и $N$ диффеоморфны. С точки зрения дифференциальной топологии, диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до Д. (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизма, исключая случаи малых размерностей). Хотя сам термин «Д.» был введен сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются Д., а многие семейства преобразований - группами Д. В частности, это относится к Д., сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (напр., контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие Д. в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах - контактные преобразования и канонич. отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо к-рых в последнее время нередко употребляют термин «Д.» с добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (напр., «симплектический Д.» вместо «канонического преобразования»). Д. В. Аносов.

дифференцируемый гомеоморфизм, гладкий гомеоморфизм, - взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение $f: M \rightarrow N$ дифференцируемого многообразия $M$ (напр., области в евклидовом пространстве) в дифференцируемое многообразие $N$, обратное к которому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если $f(M)=N$, то говорят, что $M$ и $N$ диффеоморфны. С точки зрения дифференциальной топологии, диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до Д. (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизма, исключая случаи малых размерностей). Хотя сам термин «Д.» был введен сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются Д., а многие семейства преобразований - группами Д. В частности, это относится к Д., сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (напр., контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие Д. в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах - контактные преобразования и канонич. отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо к-рых в последнее время нередко употребляют термин «Д.» с добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (напр., «симплектический Д.» вместо «канонического преобразования»). Д. В. Аносов.