ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

уравнение, содержащее неизвестные функции и производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Д.у. делятся на обыкновенные, в к-рых неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, и уравнения с частными производными, в к-рых неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных. Рассматривают также системы Д.у. как обыкновенных, так и с частными производными. Порядком Д.у. называется наивысший из порядков производных или дифференциалов, входящих в уравнение. Общим решением обыкновенного Д.у. $n$-го порядка $\quad y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)$ называется такое семейство функций \[ y=\varphi\left(x, C_{1}, \ldots, C_{n}\right), \] непрерывно зависящих от $n$ произвольных постоянных $C_{1}$, $C_{2}, \ldots, C_{n}$, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение этого Д. у. Если каждая функция $y$, определяемая соотношением \[ \Phi\left(x, y, C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}\right)=0 \] (и удовлетворяющая соответствующим условиям гладкости), представляет собой общее решение Д.у., то такое соотношение называется общим интегралом. В механике и физике Д.у. обычно определяют общие законы течения того или иного явления; чтобы получить из этих законов определенные количественные результаты, обычно на неизвестные функции накладывают добавочные, так наз. начальные или краевые условия, в к-рых требуют, чтобы неизвестные функции, а иногда и нек-рые их производные принимали заданные значения при нек-рых определенных значениях независимой переменной (см. Коши задача, Краевая задача). Такие дополнительные условия позволяют выделить из общего решения Д.у. определенное отвечающее поставленной задаче частное решение. В. И. Битюиков.

уравнение, содержащее неизвестные функции и производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Д.у. делятся на обыкновенные, в к-рых неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, и уравнения с частными производными, в к-рых неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных. Рассматривают также системы Д.у. как обыкновенных, так и с частными производными. Порядком Д.у. называется наивысший из порядков производных или дифференциалов, входящих в уравнение. Общим решением обыкновенного Д.у. $n$-го порядка $\quad y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right)$ называется такое семейство функций \[ y=\varphi\left(x, C_{1}, \ldots, C_{n}\right), \] непрерывно зависящих от $n$ произвольных постоянных $C_{1}$, $C_{2}, \ldots, C_{n}$, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение этого Д. у. Если каждая функция $y$, определяемая соотношением \[ \Phi\left(x, y, C_{1}, C_{2}, \ldots, C_{n}\right)=0 \] (и удовлетворяющая соответствующим условиям гладкости), представляет собой общее решение Д.у., то такое соотношение называется общим интегралом. В механике и физике Д.у. обычно определяют общие законы течения того или иного явления; чтобы получить из этих законов определенные количественные результаты, обычно на неизвестные функции накладывают добавочные, так наз. начальные или краевые условия, в к-рых требуют, чтобы неизвестные функции, а иногда и нек-рые их производные принимали заданные значения при нек-рых определенных значениях независимой переменной (см. Коши задача, Краевая задача). Такие дополнительные условия позволяют выделить из общего решения Д.у. определенное отвечающее поставленной задаче частное решение. В. И. Битюиков.