ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ; ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

совокупность взаимно однозначных преобразований (независимых и зависимых переменных $x, u)$, образующих группу относительно композиции преобразований и сохраняющих вид рассматриваемого уравнения. Для однопараметрич. группы преобразований: \[ \left.\begin{array}{l} x^{\prime}=f(x, u, a) \equiv x+\xi(x, u) a+o(a), \\ u^{\prime}=\varphi(x, u, a) \equiv u+\eta(x, u) a+o(a) \end{array}\right\} \] линейный дифференциальный оператор \[ X=\xi \frac{\partial}{\partial x}+\eta \frac{\partial}{\partial u} \] называется ее инфинитезимальным оператором. При заданном инфинитезимальном операторе преобразования (1) находятся из уравнений Ли $\frac{d x^{\prime}}{d a}=\xi\left(x^{\prime}, u^{\prime}\right), \quad \frac{d u^{\prime}}{d a}=\eta\left(x^{\prime}, u^{\prime}\right) ;\left.\quad x^{\prime}\right|_{a=0}=x,\left.\quad u^{\prime}\right|_{a=0}=u$ и образуют локальную [ввиду разрешимости уравнений (2) в малом] группу. Напр., уравнение теплопроводности \[ u_{t}=u_{x x} \] допускает однопараметрич. группы переносов $t^{\prime}=t+a$ и $x^{\prime}=x+a$ с инфинитезимальными операторами $X=\frac{\partial}{\partial t} \quad$ и $X=\frac{\partial}{\partial x}$, группу преобразований Галилея $t^{\prime}=t, x^{\prime}=x+2 a t$, $u^{\prime}=u e^{-\left(a x+a^{2} t\right)}$ с инфинитезимальным оператором \[ X=2 t \frac{\partial}{\partial x}-x u \frac{\partial}{\partial u} \] и т. д. Построение максимально широкой допускаемой группы требует решения так наз. определяющих уравнений, представляющих собой переопределенную систему линейных Д. у. относительно координат $\xi(x, u), \eta(x, u)$ инфинитезимального оператора (см. [1], § 5; [2], § 4.2). Множество решений определяющих уравнений образует алгебру Ли и поэтому порождает многопараметрич. допускаемую локальную группу. Допускаемая группа характеризует свойства симметрии Д. у. и используется для его интегрирования или качественного исследования (см. в [2] обсуждение принципа Гюйгенса с групповой точки зрения). Одним из важных достижений С. Ли (S. Lie) явилось открытие того, что известные частные методы понижения порядка и интегрирования в квадратурах конкретных типов обыкновенных Д. у., казавшиеся искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп. В механике теория групп широко используется для нахождения законов сохранения ([2], гл. 5) и построения отдельных классов точных решений нелинейных уравнений с частными производными. Наряду с группами точечных преобразований (1) применяется более широкий класс формальных групп Ли-Беклунда, преобразования к-рых зависят не только от $x$, $u$, но и от производных $u$ по $x$ любых порядков (см. [2]). Для группового анализа уравнений с малым параметром введено понятие приближенной группы преобразований (см. [6]), что позволяет находить симметрии, устойчивые относительно малых возмущений Д. у. Лит.: [1] Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; [2] Ибрагимов Н. Х., Группы преобразований в математической физике, М., 1983; [3] Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х., «Математич. сб.», 1988, т. 136, № 4, c. 435-50. Н. Х. Ибрагимов.

совокупность взаимно однозначных преобразований (независимых и зависимых переменных $x, u)$, образующих группу относительно композиции преобразований и сохраняющих вид рассматриваемого уравнения. Для однопараметрич. группы преобразований: \[ \left.\begin{array}{l} x^{\prime}=f(x, u, a) \equiv x+\xi(x, u) a+o(a), \\ u^{\prime}=\varphi(x, u, a) \equiv u+\eta(x, u) a+o(a) \end{array}\right\} \] линейный дифференциальный оператор \[ X=\xi \frac{\partial}{\partial x}+\eta \frac{\partial}{\partial u} \] называется ее инфинитезимальным оператором. При заданном инфинитезимальном операторе преобразования (1) находятся из уравнений Ли $\frac{d x^{\prime}}{d a}=\xi\left(x^{\prime}, u^{\prime}\right), \quad \frac{d u^{\prime}}{d a}=\eta\left(x^{\prime}, u^{\prime}\right) ;\left.\quad x^{\prime}\right|_{a=0}=x,\left.\quad u^{\prime}\right|_{a=0}=u$ и образуют локальную [ввиду разрешимости уравнений (2) в малом] группу. Напр., уравнение теплопроводности \[ u_{t}=u_{x x} \] допускает однопараметрич. группы переносов $t^{\prime}=t+a$ и $x^{\prime}=x+a$ с инфинитезимальными операторами $X=\frac{\partial}{\partial t} \quad$ и $X=\frac{\partial}{\partial x}$, группу преобразований Галилея $t^{\prime}=t, x^{\prime}=x+2 a t$, $u^{\prime}=u e^{-\left(a x+a^{2} t\right)}$ с инфинитезимальным оператором \[ X=2 t \frac{\partial}{\partial x}-x u \frac{\partial}{\partial u} \] и т. д. Построение максимально широкой допускаемой группы требует решения так наз. определяющих уравнений, представляющих собой переопределенную систему линейных Д. у. относительно координат $\xi(x, u), \eta(x, u)$ инфинитезимального оператора (см. [1], § 5; [2], § 4.2). Множество решений определяющих уравнений образует алгебру Ли и поэтому порождает многопараметрич. допускаемую локальную группу. Допускаемая группа характеризует свойства симметрии Д. у. и используется для его интегрирования или качественного исследования (см. в [2] обсуждение принципа Гюйгенса с групповой точки зрения). Одним из важных достижений С. Ли (S. Lie) явилось открытие того, что известные частные методы понижения порядка и интегрирования в квадратурах конкретных типов обыкновенных Д. у., казавшиеся искусственными и лишенными внутренней связи, могут быть выведены единообразно при помощи теории групп. В механике теория групп широко используется для нахождения законов сохранения ([2], гл. 5) и построения отдельных классов точных решений нелинейных уравнений с частными производными. Наряду с группами точечных преобразований (1) применяется более широкий класс формальных групп Ли-Беклунда, преобразования к-рых зависят не только от $x$, $u$, но и от производных $u$ по $x$ любых порядков (см. [2]). Для группового анализа уравнений с малым параметром введено понятие приближенной группы преобразований (см. [6]), что позволяет находить симметрии, устойчивые относительно малых возмущений Д. у. Лит.: [1] Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; [2] Ибрагимов Н. Х., Группы преобразований в математической физике, М., 1983; [3] Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х., «Математич. сб.», 1988, т. 136, № 4, c. 435-50. Н. Х. Ибрагимов.