ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Функция вида \[ w=L(z)=\frac{a_{1} z_{1}+\ldots+a_{n} z_{n}+b}{c_{1} z_{1}+\ldots+c_{n} z_{n}+d}, \] где $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)-$ комплексные или действительные переменные, $a_{j}, b, c_{j}, d-$ комплексные или действительные коэффициенты, $\left|c_{1}\right|+\ldots+\left|c_{n}\right|+|d|>0$. Если $\left|c_{1}\right|=\ldots=$ $=\left|c_{n}\right|=0$, то Д.-л. ф. является целой линейной функцией; если ранг матрицы $A=\left\|\begin{array}{l}a_{1} \ldots a_{n} b \\ c_{1} \ldots c_{n} d\end{array}\right\|$ равен единице, то $L(z)$ - постоянная. Собственно Д.-л. ф. получается, если $\left|c_{1}\right|+\ldots+\left|c_{n}\right|>0$ и ранг $A$ равен двум; ниже эти условия предполагаются выполненными. В случае $n=1$ и действительных $a_{1}=a, c_{1}=c, z_{1}=z$ график Д.-л.ф. есть равнобочная гипербола с асимптотами $z=-d / c$ и $w=a / c$. В случае $n=2$ и действительных $a_{1}, a_{2}, b$, $c_{1}, c_{2}, d, z_{1}, z_{2}$ график Д.-л. ф. есть гиперболич. параболоид. В случае $n=1$ Д.-л. ф. $L(z)$ есть аналитич. функция комплексного переменного $z$ всюду в расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$, за исключением точки $z=-d / c$, в к-рой $L(z)$ имеет простой полюс. При $n \geqslant 1$ Д.-л. ф. $L(z)$ есть мероморфная функция в пространстве $\mathbb{C}^{n}$ комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$, имеющая полярным множеством множество \[ \left\{z \in \mathbb{C}^{n} ; c_{1} z_{1}+\ldots+c_{n} z_{n}+d=0\right\} \] Е. П. Долженко, Е. Д. Соломенцев.

Функция вида \[ w=L(z)=\frac{a_{1} z_{1}+\ldots+a_{n} z_{n}+b}{c_{1} z_{1}+\ldots+c_{n} z_{n}+d}, \] где $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)-$ комплексные или действительные переменные, $a_{j}, b, c_{j}, d-$ комплексные или действительные коэффициенты, $\left|c_{1}\right|+\ldots+\left|c_{n}\right|+|d|>0$. Если $\left|c_{1}\right|=\ldots=$ $=\left|c_{n}\right|=0$, то Д.-л. ф. является целой линейной функцией; если ранг матрицы $A=\left\|\begin{array}{l}a_{1} \ldots a_{n} b \\ c_{1} \ldots c_{n} d\end{array}\right\|$ равен единице, то $L(z)$ - постоянная. Собственно Д.-л. ф. получается, если $\left|c_{1}\right|+\ldots+\left|c_{n}\right|>0$ и ранг $A$ равен двум; ниже эти условия предполагаются выполненными. В случае $n=1$ и действительных $a_{1}=a, c_{1}=c, z_{1}=z$ график Д.-л.ф. есть равнобочная гипербола с асимптотами $z=-d / c$ и $w=a / c$. В случае $n=2$ и действительных $a_{1}, a_{2}, b$, $c_{1}, c_{2}, d, z_{1}, z_{2}$ график Д.-л. ф. есть гиперболич. параболоид. В случае $n=1$ Д.-л. ф. $L(z)$ есть аналитич. функция комплексного переменного $z$ всюду в расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb{C}}$, за исключением точки $z=-d / c$, в к-рой $L(z)$ имеет простой полюс. При $n \geqslant 1$ Д.-л. ф. $L(z)$ есть мероморфная функция в пространстве $\mathbb{C}^{n}$ комплексных переменных $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$, имеющая полярным множеством множество \[ \left\{z \in \mathbb{C}^{n} ; c_{1} z_{1}+\ldots+c_{n} z_{n}+d=0\right\} \] Е. П. Долженко, Е. Д. Соломенцев.