ДУАЛЬНОСТЬ АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ТЕНЗОРОВ

на $n$-мерном ориентированном римановом многообразии $\boldsymbol{M}$ задается формулой \[ \tilde{F}_{j_{1} \ldots j_{n-k}}=\frac{1}{k !} \sqrt{g} \varepsilon_{j_{1} \ldots j_{n-k} i_{1} \ldots i_{k}} F^{i_{1} \ldots i_{k}}, \] где $g$ - детерминант метрического тензора, $\varepsilon$ - полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты. Иначе говоря, переход к дуальному тензору осуществляется поднятием индексов и последующей сверткой с тензором, соответствуюшим форме объема. Это же преобразование, рассматриваемое как операция на дифференциальных формах, обозначается * и называется оператором Ходжа. Естественным скалярным произведением двух форм одинаковой степени служит $\left\langle\omega, \omega^{\prime}\right\rangle=\int_{M} \omega \Lambda * \omega^{\prime}$. Эти определения применимы и к алгеброзначным тензорам и формам. Если \[ F=d A+\frac{1}{2}[A \wedge A] \] - напряженность калибровочного поля на 4-мерном многообразии, то решения уравнений дуальности $* F= \pm F$ называются самодуальными и антисамодуальными полями. В случае неабелевой калибровочной группы имеются решения с нетривиальным целочисленным топологич. зарядом \[ q=\left(1 / 32 \pi^{2}\right)\langle F, * F\rangle \] \section{- инстантоны.} Лит.: [1] Шутц Б., Геометрические методы математической физики, пер. с англ., М., 1984; [2] Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, М., $1989 . \quad$ М. А. Соловьев.

на $n$-мерном ориентированном римановом многообразии $\boldsymbol{M}$ задается формулой \[ \tilde{F}_{j_{1} \ldots j_{n-k}}=\frac{1}{k !} \sqrt{g} \varepsilon_{j_{1} \ldots j_{n-k} i_{1} \ldots i_{k}} F^{i_{1} \ldots i_{k}}, \] где $g$ - детерминант метрического тензора, $\varepsilon$ - полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты. Иначе говоря, переход к дуальному тензору осуществляется поднятием индексов и последующей сверткой с тензором, соответствуюшим форме объема. Это же преобразование, рассматриваемое как операция на дифференциальных формах, обозначается * и называется оператором Ходжа. Естественным скалярным произведением двух форм одинаковой степени служит $\left\langle\omega, \omega^{\prime}\right\rangle=\int_{M} \omega \Lambda * \omega^{\prime}$. Эти определения применимы и к алгеброзначным тензорам и формам. Если \[ F=d A+\frac{1}{2}[A \wedge A] \] - напряженность калибровочного поля на 4-мерном многообразии, то решения уравнений дуальности $* F= \pm F$ называются самодуальными и антисамодуальными полями. В случае неабелевой калибровочной группы имеются решения с нетривиальным целочисленным топологич. зарядом \[ q=\left(1 / 32 \pi^{2}\right)\langle F, * F\rangle \] \section{- инстантоны.} Лит.: [1] Шутц Б., Геометрические методы математической физики, пер. с англ., М., 1984; [2] Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, М., $1989 . \quad$ М. А. Соловьев.