ЕВКЛИДОВО КВАНТОВОЕ ПОЛЕ

$P[\varphi]_{v+1}-$ МОДЕЛИ, класс моделей скалярного нейтрального поля в пространстве $\mathbb{R}^{v+1}$, формальное евклидово действие которых имеет вид \[ S(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{\mathrm{v}+1}}\left[(\nabla \xi)^{2}(x)+m^{2} \xi^{2}(x)+\lambda P(\xi(x))\right] d x, \] где $\left\{\xi(x), x \in \mathbb{R}^{v+1}\right\}$ - поле, $P(\cdot)$ - ограниченный снизу полином, $\lambda>0$ - параметр. Полное и математически корректное определение и построение таких полей (в рамках так наз. марковского подхода, см. [1]) в случае $\mathrm{v}=1$ исходят из следующих посылок. 1) Поле $\{\xi(x)\}$, соответствующее действию (1), задается как обобщенное марковское случайное поле в $\mathbb{R}^{2}$, инвариантное относительно движений и обладающее рядом дополнительных свойств [общая редукция построения квантового евклидова поля к построению марковского поля (см. [1]) составляет основу упомянутого выше «марковского подхода»]. 2) На интуитивно-эвристическом уровне «плотность» распределения вводимого марковского поля $\{\xi(x)\}$ относительно (несуществующей) меры \[ \prod_{x \in \mathbb{R}^{2}} d \xi(x) \] имеет вид \[ \text { const } \exp (-S(\xi)) \text {. } \] Такой вид возникает как обобщение фейнмановского подхода в квантовой механике с помощью функциональных интегралов, хорошо изученного для систем с конечным числом степеней свободы (см. [2]). Определение (и одновременно построение) моделей $P[\varphi]_{2}$ состоит в придании точного математич. смысла формуле (2). Для этого сначала рассматривается случай $\lambda=0$ («свободное» поле), при к-ром действие (1) имеет вид положительной квадратичной формы \[ S_{\lambda=0}(\xi)=\left(\left(-\Delta+m^{2}\right) \xi, \xi\right)_{L_{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)}, \] где $\Delta$ - оператор Лапласа в $L_{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$, а $(\cdot, \cdot)$ - скалярное произведение в этом пространстве. Формула (2) подсказывает, что в этом случае поле $\{\xi(x)\}$ следует считать обобщенным гауссовым случайным полем со средним нуль и ковариационным функционалом \[ \begin{gathered} \left\langle\xi\left(\varphi_{1}\right), \xi\left(\varphi_{2}\right)\right\rangle=\left(\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1} \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)_{L_{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)}= \\ =\int_{\mathbb{R}^{2}} \frac{\tilde{\varphi}_{1}(k) \overline{\tilde{\varphi}_{2}(k)} d^{2} k}{k^{2}+m^{2}}, \end{gathered} \] где $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in S\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ - гладкие быстро убывающие функции, $\widetilde{\varphi}_{1}, \widetilde{\varphi}_{2}-$ их преобразования Фурье, а $\xi \in S\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ - обобщенная функция умеренного роста, $\langle\cdot, \cdot\rangle-$ среднее по распределению $\mu_{0}$ гауссова поля. Далее, в случае $\lambda>0$ распределение поля $\lambda P[\varphi]_{2}$ задается в виде так наз. гиббсовской перестройки (см. [4]) гауссова поля, а именно, сначала строится так наз. локальное возмущение этого поля с распределением \[ d \mu_{\Lambda}=\frac{1}{z_{\Lambda}} \exp \left\{-\lambda: \int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x:\right\} \] где $\Lambda \subset \mathbb{R}^{2}-$ ограниченная область, \[ : \int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x: \] - так наз. виковская регуляризация функционала \[ \int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x \] а $Z_{\Lambda}$ - нормирующий множитель. Глобальное возмущение получается как термодинамич. предел \[ \mu=\lim _{\Lambda \rightarrow \mathbb{R}^{2}} \mu_{\Lambda} \] где предельный переход $\Lambda-\mathbb{R}^{2}$ означает предел по любой расширяющейся последовательности областей, заполняющих все пространство $\mathbb{R}^{2}$, а сходимость (6) понимается как слабая сходимость конечномерных распределений мер $\mu_{\Lambda}$. В случае $\lambda \ll 1$ все шаги описанного построения обоснованы, полученное поле является марковским и обладает всеми нужными свойствами. В случае $\lambda \gg 1$ также удается провести эти построения, но при этом может возникнуть несколько предельных полей (фазовый переход). В случае $v=3$ описанный подход применим только к нек-рым полиномам $P(\cdot)$, а при построении локального возмущения (5) требуется введение так наз. контрчленов (то есть более сложной регуляризации функционала $\left.\int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x\right)$. Другой близкий к этому подход связан с применением методов и идей ренормализационной группы.

$P[\varphi]_{v+1}-$ МОДЕЛИ, класс моделей скалярного нейтрального поля в пространстве $\mathbb{R}^{v+1}$, формальное евклидово действие которых имеет вид \[ S(\xi)=\int_{\mathbb{R}^{\mathrm{v}+1}}\left[(\nabla \xi)^{2}(x)+m^{2} \xi^{2}(x)+\lambda P(\xi(x))\right] d x, \] где $\left\{\xi(x), x \in \mathbb{R}^{v+1}\right\}$ - поле, $P(\cdot)$ - ограниченный снизу полином, $\lambda>0$ - параметр. Полное и математически корректное определение и построение таких полей (в рамках так наз. марковского подхода, см. [1]) в случае $\mathrm{v}=1$ исходят из следующих посылок. 1) Поле $\{\xi(x)\}$, соответствующее действию (1), задается как обобщенное марковское случайное поле в $\mathbb{R}^{2}$, инвариантное относительно движений и обладающее рядом дополнительных свойств [общая редукция построения квантового евклидова поля к построению марковского поля (см. [1]) составляет основу упомянутого выше «марковского подхода»]. 2) На интуитивно-эвристическом уровне «плотность» распределения вводимого марковского поля $\{\xi(x)\}$ относительно (несуществующей) меры \[ \prod_{x \in \mathbb{R}^{2}} d \xi(x) \] имеет вид \[ \text { const } \exp (-S(\xi)) \text {. } \] Такой вид возникает как обобщение фейнмановского подхода в квантовой механике с помощью функциональных интегралов, хорошо изученного для систем с конечным числом степеней свободы (см. [2]). Определение (и одновременно построение) моделей $P[\varphi]_{2}$ состоит в придании точного математич. смысла формуле (2). Для этого сначала рассматривается случай $\lambda=0$ («свободное» поле), при к-ром действие (1) имеет вид положительной квадратичной формы \[ S_{\lambda=0}(\xi)=\left(\left(-\Delta+m^{2}\right) \xi, \xi\right)_{L_{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)}, \] где $\Delta$ - оператор Лапласа в $L_{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$, а $(\cdot, \cdot)$ - скалярное произведение в этом пространстве. Формула (2) подсказывает, что в этом случае поле $\{\xi(x)\}$ следует считать обобщенным гауссовым случайным полем со средним нуль и ковариационным функционалом \[ \begin{gathered} \left\langle\xi\left(\varphi_{1}\right), \xi\left(\varphi_{2}\right)\right\rangle=\left(\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1} \varphi_{1}, \varphi_{2}\right)_{L_{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)}= \\ =\int_{\mathbb{R}^{2}} \frac{\tilde{\varphi}_{1}(k) \overline{\tilde{\varphi}_{2}(k)} d^{2} k}{k^{2}+m^{2}}, \end{gathered} \] где $\varphi_{1}, \varphi_{2} \in S\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ - гладкие быстро убывающие функции, $\widetilde{\varphi}_{1}, \widetilde{\varphi}_{2}-$ их преобразования Фурье, а $\xi \in S\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ - обобщенная функция умеренного роста, $\langle\cdot, \cdot\rangle-$ среднее по распределению $\mu_{0}$ гауссова поля. Далее, в случае $\lambda>0$ распределение поля $\lambda P[\varphi]_{2}$ задается в виде так наз. гиббсовской перестройки (см. [4]) гауссова поля, а именно, сначала строится так наз. локальное возмущение этого поля с распределением \[ d \mu_{\Lambda}=\frac{1}{z_{\Lambda}} \exp \left\{-\lambda: \int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x:\right\} \] где $\Lambda \subset \mathbb{R}^{2}-$ ограниченная область, \[ : \int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x: \] - так наз. виковская регуляризация функционала \[ \int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x \] а $Z_{\Lambda}$ - нормирующий множитель. Глобальное возмущение получается как термодинамич. предел \[ \mu=\lim _{\Lambda \rightarrow \mathbb{R}^{2}} \mu_{\Lambda} \] где предельный переход $\Lambda-\mathbb{R}^{2}$ означает предел по любой расширяющейся последовательности областей, заполняющих все пространство $\mathbb{R}^{2}$, а сходимость (6) понимается как слабая сходимость конечномерных распределений мер $\mu_{\Lambda}$. В случае $\lambda \ll 1$ все шаги описанного построения обоснованы, полученное поле является марковским и обладает всеми нужными свойствами. В случае $\lambda \gg 1$ также удается провести эти построения, но при этом может возникнуть несколько предельных полей (фазовый переход). В случае $v=3$ описанный подход применим только к нек-рым полиномам $P(\cdot)$, а при построении локального возмущения (5) требуется введение так наз. контрчленов (то есть более сложной регуляризации функционала $\left.\int_{\Lambda} P(\xi(x)) d x\right)$. Другой близкий к этому подход связан с применением методов и идей ренормализационной группы.