ИМПРИМИТИВНАЯ ГРУППА

группа $G$ взаимно однозначных отображений на себя (подстановок) некоторого множества $S$, для которой существует разбиение множества $S_{\text {в объединение непересекаюшихся подмножеств }} S_{1}, \ldots, S_{m}$, $m \geqslant 2$, обладающее следующими свойствами: число элементов хотя бы в одном из $S_{i}$ больше единицы; для любой подстановки $g \in G$ и любого номера $i, 1 \leqslant i \leqslant m$, существует такой номер $j, 1 \leqslant j \leqslant m$, что $g$ отображает $S_{i}$ на $S_{j}$. Набор подмножеств $S_{1}, \ldots, S_{m}$ называется системой импримитивности, а сами подмножества $S_{i}-$ областями импримитивности группы $G$. Не импримитивная группа подстановок называется примитивной. Понятие И. г. подстановок имеет аналог для групп линейных преобразований векторных пространств. Именно, линейное представление $\rho$ группы $G$ называется импримитивным, если существует разложение пространства $V$ представления $\rho$ в прямую сумму собственных подпространств $V_{1}, \ldots, V_{m}$, обладающее следующим свойством: для любого элемента $g \in G$ и любого номера $i, 1 \leqslant i \leqslant m$, найдется такой номер $j, 1 \leqslant j \leqslant m$, что $\rho(g)\left(V_{i}\right)=V_{j}$. Если $V$ не обладает разложением указанного типа, то представление $\rho$ называется примитивным. Импримитивное представление $\rho$ называется транзитивно импримитивным, если для любой пары подпространств $V_{i}$ и $V_{j}$ из системы импримитивности существует такой элемент $g \in G$, что $\rho(g)\left(V_{i}\right)=V_{j}$.

группа $G$ взаимно однозначных отображений на себя (подстановок) некоторого множества $S$, для которой существует разбиение множества $S_{\text {в объединение непересекаюшихся подмножеств }} S_{1}, \ldots, S_{m}$, $m \geqslant 2$, обладающее следующими свойствами: число элементов хотя бы в одном из $S_{i}$ больше единицы; для любой подстановки $g \in G$ и любого номера $i, 1 \leqslant i \leqslant m$, существует такой номер $j, 1 \leqslant j \leqslant m$, что $g$ отображает $S_{i}$ на $S_{j}$. Набор подмножеств $S_{1}, \ldots, S_{m}$ называется системой импримитивности, а сами подмножества $S_{i}-$ областями импримитивности группы $G$. Не импримитивная группа подстановок называется примитивной. Понятие И. г. подстановок имеет аналог для групп линейных преобразований векторных пространств. Именно, линейное представление $\rho$ группы $G$ называется импримитивным, если существует разложение пространства $V$ представления $\rho$ в прямую сумму собственных подпространств $V_{1}, \ldots, V_{m}$, обладающее следующим свойством: для любого элемента $g \in G$ и любого номера $i, 1 \leqslant i \leqslant m$, найдется такой номер $j, 1 \leqslant j \leqslant m$, что $\rho(g)\left(V_{i}\right)=V_{j}$. Если $V$ не обладает разложением указанного типа, то представление $\rho$ называется примитивным. Импримитивное представление $\rho$ называется транзитивно импримитивным, если для любой пары подпространств $V_{i}$ и $V_{j}$ из системы импримитивности существует такой элемент $g \in G$, что $\rho(g)\left(V_{i}\right)=V_{j}$.