Абсолютное значение

на теле - отображение [img: http://localhost:8080/file/010103-249.jpg] тела Кв множество [img: http://localhost:8080/file/010103-250.jpg] действительных чисел, удовлетворяющее условиям: [img: http://localhost:8080/file/010103-251.jpg] А. з. часто обозначается [img: http://localhost:8080/file/010103-252.jpg] вместо [img: http://localhost:8080/file/010103-253.jpg]. А. з. наз. также нормой, мультипликативным нормированием. А. з. могут рассматриваться на любом кольце со значениями в линейно-упорядоченном кольце [4] (см. также Нормирование). Примеры А. з. Если [img: http://localhost:8080/file/010103-254.jpg] - поле действительных чисел, то [img: http://localhost:8080/file/010103-255.jpg] является абсолютной величиной, или модулем, числа [img: http://localhost:8080/file/010103-256.jpg] Аналогично, если К - поле [img: http://localhost:8080/file/010103-257.jpg] комплексных чисел или тело [img: http://localhost:8080/file/010103-258.jpg] кватернионов, то [img: http://localhost:8080/file/010103-259.jpg] есть А. з. Подполя этих полей также снабжаются индуцированным А. з. Любое тело имеет тривиальное А. з.: [img: http://localhost:8080/file/010103-260.jpg] конечные поля и их алгебраич. расширения имеют только такие А. з. Примеры А. з. другого типа доставляют логариф-мич. нормирования тела [img: http://localhost:8080/file/010103-261.jpg]: если [img: http://localhost:8080/file/010103-262.jpg] - нормирование Ксо значениями в группе [img: http://localhost:8080/file/010103-263.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010103-264.jpg] - действительное число, [img: http://localhost:8080/file/010103-265.jpg] является А. з. Например, если [img: http://localhost:8080/file/010103-266.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010103-267.jpg] есть р-адическое нормирование поля [img: http://localhost:8080/file/010103-268.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/010103-269.jpg] называется р-aдическим А. з., или р-адической нормой. Эти А. з. удовлетворяют более сильному, чем 3), условию А. [img: http://localhost:8080/file/010103-270.jpg] з., удовлетворяющие условию 4), наз. ультраметрическими А. з., или неархимедовыми А. з. (в отличие от архимедовых А. з., не удовлетворяющих этому условию). Они характеризуются тем, что [img: http://localhost:8080/file/010103-271.jpg] для всех целых п. Все А. з. тела характеристики [img: http://localhost:8080/file/010103-272.jpg] являются ультраметрич. А. з. Все ультраметрич. А. з. получаются из нормировании указанным выше способом: [img: http://localhost:8080/file/010103-273.jpg] (и обратно, за нормирование всегда можно взять - [img: http://localhost:8080/file/010103-274.jpg]). А. з. [img: http://localhost:8080/file/010103-275.jpg] определяет метрику на К, если за расстояние между хи упринять [img: http://localhost:8080/file/010103-276.jpg] и тем самым определяет топологию на К. Так, топология любого локально компактного тела определяется нек-рым абсолютным значением. А. з. [img: http://localhost:8080/file/010103-277.jpg] наз. эквивалентными, если они определяют одну топологию; в этом случае существует такое [img: http://localhost:8080/file/010103-278.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010103-279.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010103-280.jpg] Структура всех архимедовых А. з. дается теоремой Островского: если [img: http://localhost:8080/file/010103-281.jpg] - архимедово А. з. на теле К, то существует такой изоморфизм Кна нек-рое всюду плотное подтело тела [img: http://localhost:8080/file/010103-282.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010103-283.jpg] эквивалентно А. з., индуцированному с [img: http://localhost:8080/file/010103-284.jpg] Любое нетривиальное А. з. поля [img: http://localhost:8080/file/010103-285.jpg] рациональных чисел эквивалентно либо р-адическому А. з. [img: http://localhost:8080/file/010103-286.jpg] (где р - простое число), либо обычной абсолютной величине. При этом для любого рационального числа rОQ [img: http://localhost:8080/file/010103-287.jpg] Аналогичная формула имеет место и для полей алгебраич. чисел (см. [2], [3]). Если [img: http://localhost:8080/file/010103-288.jpg] - нек-рое А. з. тела К, то Кможет быть вложено, при помощи классич. процесса пополнения, в тело К j, полное относительно А. з., продолжающего [img: http://localhost:8080/file/010103-289.jpg] (см. Полное топологическое пространство). Одним из основных современных методов изучения полей является вложение поля Кв прямое произведение [img: http://localhost:8080/file/010103-290.jpg] пополнений [img: http://localhost:8080/file/010103-291.jpg] по всем А. з. (см. Адель);поле Кплотно лежит в [img: http://localhost:8080/file/010103-292.jpg] именно, если [img: http://localhost:8080/file/010103-293.jpg] - нетривиальные неэквивалентные А. з. на поле К, a1..., а n - элементы из К и [img: http://localhost:8080/file/010103-294.jpg] то существует такое [img: http://localhost:8080/file/010103-295.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010103-296.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010103-297.jpg] (теорема аппроксимации для А. з.). А. з. поля Кможет быть продолжено (вообще говоря неоднозначно) на любое алгебраич. расширение поля К. Если Кполно относительно А. з. [img: http://localhost:8080/file/010103-298.jpg] а Л есть расширение Кстепени п, то продолжение [img: http://localhost:8080/file/010103-299.jpg] на Lединственно и задается формулой [img: http://localhost:8080/file/010103-300.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010103-301.jpg]