Абсолютно сходящийся несобственный интеграл

- несобственный интеграл, для к-рого интеграл от абсолютной величины подинтегральной функции сходится. Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для определенности) несобственный интеграл вида: [img: http://localhost:8080/file/010103-207.jpg] где функция [img: http://localhost:8080/file/010103-208.jpg] интегрируема по Риману (или по Лебегу) на любом отрезке [img: http://localhost:8080/file/010103-209.jpg] Для абсолютной сходимости интеграла (*) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости несобственного интеграла), чтобы для любого [img: http://localhost:8080/file/010103-210.jpg] существовало такое [img: http://localhost:8080/file/010103-211.jpg] что для всех [img: http://localhost:8080/file/010103-212.jpg] выполнялось неравенство [img: http://localhost:8080/file/010103-213.jpg] Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он равен интегралу Лебега от рассматриваемой функции. Существуют несобственные интегралы, сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся, напр. [img: http://localhost:8080/file/010103-214.jpg] Чтобы определить сходится или нет заданный интеграл абсолютно, полезно использовать признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций; напр., с помощью сравнения признака устанавливается абсолютная сходимость интеграла [img: http://localhost:8080/file/010103-215.jpg] Для кратных несобственных интегралов (в большей части имеющихся определений) связь сходимости и абсолютной сходимости интегралов другая. Пусть на открытом множестве G n-мерного евклидова пространства определена функция [img: http://localhost:8080/file/010103-216.jpg] Если для любой последовательности кубируемых областей [img: http://localhost:8080/file/010103-217.jpg] монотонно исчерпывающей область [img: http://localhost:8080/file/010103-218.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010103-219.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010103-220.jpg] существует при [img: http://localhost:8080/file/010103-221.jpg] предел интегралов Римана [img: http://localhost:8080/file/010103-222.jpg] и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности областей, то он обычно и наз. несобственным интегралом [img: http://localhost:8080/file/010103-223.jpg] Так определенный интеграл сходится тогда и только тогда, когда он абсолютно сходится. Существуют и другие определения несобственных кратных интегралов. Напр., для функции f(х), определенной на всем пространстве [img: http://localhost:8080/file/010103-224.jpg] и интегрируемой по Риману на любом n-мерном шаре [img: http://localhost:8080/file/010103-225.jpg] радиуса [img: http://localhost:8080/file/010103-226.jpg] можно определить несобственный интеграл по [img: http://localhost:8080/file/010103-227.jpg] равенством [img: http://localhost:8080/file/010103-228.jpg] В этом случае из абсолютной сходимости интеграла снова следует просто сходимость, но обратное неверно.