Адамара теорема

- 1) А. т. о лакунах (о пропусках): если номера n1, п 2,... всех отличных от нуля коэффициентов степенного ряда [img: http://localhost:8080/file/010108-148.jpg] удовлетворяют условию [img: http://localhost:8080/file/010108-149.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-150.jpg] то граница круга сходимости этого ряда является его естественной границей, т. е. функция не может быть аналитически продолжена за пределы этого круга. Условие (*) наз. условием Адамара; лакуны, удовлетворяющие условию Адамара, наз. лакунами Адамара. См. также Лакунарный ряд, Фабри теорема. [img: http://localhost:8080/file/010108-151.jpg] 2) А. т. о целых функциях- теорема о представлении целых функций с помощью их нулей, уточняющая Вейерштрасса теорему о бесконечных произведениях в случае целой функции [img: http://localhost:8080/file/010108-152.jpg] конечного порядка [img: http://localhost:8080/file/010108-153.jpg] Если, для простоты, [img: http://localhost:8080/file/010108-154.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010108-155.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-156.jpg] - многочлен степени не выше [img: http://localhost:8080/file/010108-157.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/010108-158.jpg] - каноническое произведение Веиерштрасса рода [img: http://localhost:8080/file/010108-159.jpg] построенное по нулям [img: http://localhost:8080/file/010108-160.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/010108-161.jpg] Иначе говоря, А. т. утверждает, что род целой функции не превосходит ее порядка. Эта теорема использовалась Ж. Адама-ром при доказательстве асимптотич. закона распределения простых чисел.