Аддитивная теория чисел

раздел теории чисел, в к-ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз. аддитивными задачами. Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении больших чисел. К классич. проблемам А. т. ч. относятся: задача о представлении числа суммой четырех квадратов, девяти кубов и т. д. (см. Варинга проблема);задача о представлении числа в виде суммы не более трех простых (см. Гольдбаха проблема);задача о представлении числа в виде суммы простого и двух квадратов (см. Харди - Литлвуда проблема).и другие аддитивные проблемы. Для решения задач А. т. ч. применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы, а также методы, основанные на вероятностных соображениях. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел - аналитич. теорию чисел, алгебраич. теорию чисел, вероятностную теорию чисел. Первые систематич. результаты в А. т. ч. были получены Л. Эйлером (L. Euler, 1748), к-рый исследовал с помощью степенных рядов разложения целых чисел на положительные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых. Многие классич. задачи А. т. ч. решаются методом редукции к производящим функциям, к-рый восходит к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитич. методов, развитых Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литлвудом (J. Е. Littlewood) и И. М. Виноградовым. Исходной является идея сопоставления заданным последовательностям [img: http://localhost:8080/file/010108-279.jpg] степенных рядов [img: http://localhost:8080/file/010108-280.jpg] с производящей функцией [img: http://localhost:8080/file/010108-281.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010108-282.jpg] - количество представлений числа пв виде [img: http://localhost:8080/file/010108-283.jpg] При этом [img: http://localhost:8080/file/010108-284.jpg] вычисляется при помощи интеграла Ко-ши. В методе Виноградова степенные ряды заменяются тригонометрич. суммами [img: http://localhost:8080/file/010108-285.jpg] Из r(п).выделяется главная часть, состоящая из интервалов, распространенных на окрестности нек-рых рациональных точек. Вместо аналитич. свойств [img: http://localhost:8080/file/010108-286.jpg] требующих в ряде задач А. т. ч. привлечения гипотез, аналогичных Римана гипотезе, центральную роль при вычислении r(n) играют чисто арифметич. оценки тригонометрич. сумм по методу Виноградова и законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях, получаемые трансцендентными методами теории L- функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости от kлибо [img: http://localhost:8080/file/010108-287.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010108-288.jpg] либо [img: http://localhost:8080/file/010108-289.jpg] для достаточно больших п [img: http://localhost:8080/file/010108-290.jpg], либо для почти всех пвыполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/010108-291.jpg] т. е. [img: http://localhost:8080/file/010108-292.jpg] или, наконец, для [img: http://localhost:8080/file/010108-293.jpg] имеется асимптотич. формула. Наименьшее число k, удовлетворяющее одному из перечисленных условий, обозначается соответственно [img: http://localhost:8080/file/010108-294.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010108-295.jpg] В случае [img: http://localhost:8080/file/010108-296.jpg] - последовательность простых чисел, при [img: http://localhost:8080/file/010108-297.jpg] получается теорема Виноградова: всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел; при [img: http://localhost:8080/file/010108-298.jpg] - теорема Чудакова: почти все четные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел. Нек-рые задачи А. т. ч. решаются при помощи исследования структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей [img: http://localhost:8080/file/010109-1.jpg] заданных лишь их плотностями [img: http://localhost:8080/file/010109-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010109-3.jpg] Из положительности [img: http://localhost:8080/file/010109-4.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010109-5.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010109-6.jpg] уже следует, что [img: http://localhost:8080/file/010109-7.jpg] Применение этого факта к задачам А. т. ч., в к-рых суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется путем конструирования из данных последовательностей новых последовательностей с положительной плотностью. Ведущую роль при этом играют решета методы, с помощью к-рых доказывается положительность [img: http://localhost:8080/file/010109-8.jpg] Таким способом Л. Г. Шнирельманом доказана теорема о представимости натуральных чисел в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых, Ю. В. Линником найдено элементарное решение проблемы Варинга. Элементарные методы решета, принадлежащие В. Вруну (см. Вруна решето).и А. Сельбергу (см. Сельберга решето), приводят в ряде задач А. т. ч. к результатам, недоступным пока современным аналитич. средствам. Однако наиболее законченные решения нек-рых задач А. т. ч. получаются путем комбинирования аналитических и элементарных методов. В методах решета принцип высеивания простых чисел из натурального ряда (см. Эратосфена решето).распространяется на совокупности последовательностей. Так, одновременное высеивание с должной точностью из последовательностей [img: http://localhost:8080/file/010109-9.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010109-10.jpg] простых чисел, [img: http://localhost:8080/file/010109-11.jpg] и, соответственно, [img: http://localhost:8080/file/010109-12.jpg] (где [img: http://localhost:8080/file/010109-13.jpg] - надлежащим образом выбранные положительные константы), приводит к решению так ваз. квазипроблемы Гольдбаха- Эйлера о представлении четного числа суммой двух чисел, одно из к-рых имеет не более [img: http://localhost:8080/file/010109-14.jpg] а другое - не более [img: http://localhost:8080/file/010109-15.jpg] простых множителей. В 1959 Ю. В. Линником при помощи созданного им дисперсионного метода была решена проблема Харди - Литлвуда, а именно, было доказано (см. [2]), что всякое достаточно большое натуральное число может быть представлено в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел. Дисперсионным методом был решен ряд так наз. бинарных проблем, связанных с нахождением числа [img: http://localhost:8080/file/010109-16.jpg] решений уравнения [img: http://localhost:8080/file/010109-17.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010109-18.jpg] пробегают заданные последовательности чисел, достаточно хорошо распределенные в арифметич. прогрессиях. Для метода Линника характерно использование элементарных теоретико-вероятностных понятий, примененных П. Л. Чебышевым в его выводе закона больших чисел. С этой целью данное бинарное уравнение сводится к большому числу вспомогательных уравнений, для к-рых сопоставляются ожидаемые [img: http://localhost:8080/file/010109-19.jpg] количества решений уравнений. Если подсчет дисперсии показывает, что [img: http://localhost:8080/file/010109-20.jpg] "в среднем" мало отличаются от Si(n), то Q(n).е Si (n) (с допустимой погрешностью). Дисперсионный метод был использован также для исследования общего уравнения Харди - Литлвуда. Область применения дисперсионного метода пересекается с областью применения метода большого решета, разработанного Ю. В. Линником в 1941. Этот метод позволяет высеивать последовательности при помощи простых чисел с возрастающим числом выбрасываемых вычетов. Фактически метод большого решета является следствием законов распределения слабо зависимых случайных величин. В А. т. ч. существуют задачи, систематич. изучение к-рых относится к другим разделам теории чисел: проблема представимости целых чисел квадратичными формами и формами высших степеней; исследование дио-фантовых уравнений, допускающих трактовку с позиций общей А. т. ч. В современной теории чисел интенсивно развиваются различные направления А. т. ч., наблюдается тенденция к перенесению проблем и методов А. т. ч. на произвольные поля алгебраич. чисел.