Адель

- элемент группы аделей, т. е. топологич. прямого произведения [img: http://localhost:8080/file/010109-56.jpg] групп [img: http://localhost:8080/file/010109-57.jpg] с отмеченными открытыми подгруппами [img: http://localhost:8080/file/010109-58.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/010109-59.jpg] - линейная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем [img: http://localhost:8080/file/010109-60.jpg] - множество всех неэквивалентных нормировании поля [img: http://localhost:8080/file/010109-61.jpg] - пополнение kотносительно [img: http://localhost:8080/file/010109-62.jpg] - кольцо целых элементов в [img: http://localhost:8080/file/010109-63.jpg] Группа А. алгебраич. группы G обозначается через [img: http://localhost:8080/file/010109-64.jpg] Так как все группы [img: http://localhost:8080/file/010109-65.jpg] локально компактны, а [img: http://localhost:8080/file/010109-66.jpg] компактны, то [img: http://localhost:8080/file/010109-67.jpg] - локально компактная группа. Примеры. 1) Если [img: http://localhost:8080/file/010109-68.jpg] - аддитивная группа k+ поля [img: http://localhost:8080/file/010109-69.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010109-70.jpg] обладает естественной структурой кольца, к-рое наз. кольцом аделей поля [img: http://localhost:8080/file/010109-71.jpg] и обозначается [img: http://localhost:8080/file/010109-72.jpg] 2) Если [img: http://localhost:8080/file/010109-73.jpg] - мультипликативная группа [img: http://localhost:8080/file/010109-74.jpg] поля [img: http://localhost:8080/file/010109-75.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010109-76.jpg] наз. группой иделей поля [img: http://localhost:8080/file/010109-77.jpg] (группа иделей является группой единиц в кольце аделей [img: http://localhost:8080/file/010109-78.jpg] 3) Если [img: http://localhost:8080/file/010109-79.jpg] - полная линейная группа над [img: http://localhost:8080/file/010109-80.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010109-81.jpg] состоит из таких элементов [img: http://localhost:8080/file/010109-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010109-83.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010109-84.jpg] для почти всех нормировании [img: http://localhost:8080/file/010109-85.jpg] Понятие группы А. было впервые введено К. Шевалле (С. Chevalley) в 30-х гг. 20 в. для полей алгебраич. чисел в связи с потребностями теории полей классов. Спустя 20 лет оно было обобщено М. Кнезером (М. Kneser) и Ц. Тамагава (Т. Tamagawa) на алгебраич. группы (см. [1], [2]). Последние заметили, что основные результаты об арифметике квадратичных форм над числовыми полями удобно переформулировать на языке группы А. Образ диагонального вложения [img: http://localhost:8080/file/010109-86.jpg] является дискретной подгруппой в [img: http://localhost:8080/file/010109-87.jpg] и наз. подгруппой главных аделей. Если [img: http://localhost:8080/file/010109-88.jpg] - множество всех архимедовых нормировании [img: http://localhost:8080/file/010109-89.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010109-90.jpg] наз. подгруппой целых аделей. Если [img: http://localhost:8080/file/010109-91.jpg] то число различных двойных классов смежности вида [img: http://localhost:8080/file/010109-92.jpg] группы А. [img: http://localhost:8080/file/010109-93.jpg] конечно и равно числу классов идеалов поля k. Естественно возникающий вопрос о конечности числа таких двойных классов для произвольной алгебраич. группы G связан с теорией приведения для подгруппы главных А., т. е. с конструкцией фундаментальной области для факторпространства [img: http://localhost:8080/file/010109-94.jpg] В [5] доказано, что [img: http://localhost:8080/file/010109-95.jpg] тогда и только тогда компактно, когда группа Gявляется k-анизотропной (см. Анизотропная группа). Более того, решен вопрос о том, когда над полем алгебраич. чисел факторпростран-ство [img: http://localhost:8080/file/010109-96.jpg] имеет конечный объем в Хаара мере. Так как [img: http://localhost:8080/file/010109-97.jpg] локально компактна, то такая мера всегда существует и объем [img: http://localhost:8080/file/010109-98.jpg] в мере Хаара конечен тогда и только тогда, когда группа G не имеет рациональных k-характеров (см. Характер алгебраич. группы). Величина [img: http://localhost:8080/file/010109-99.jpg] объема [img: http://localhost:8080/file/010109-100.jpg] представляет важный арифметич. инвариант алгебраич. группы [img: http://localhost:8080/file/010109-101.jpg] (см. Тамагавы число). Опираясь на эти результаты, доказано (см. [5]), что для произвольной алгебраич. группы [img: http://localhost:8080/file/010109-102.jpg] имеет место разложение [img: http://localhost:8080/file/010109-103.jpg] Для случая, когда k - функциональное поле, также доказана конечность числа двойных классов смежности указанного вида для группы А. алгебраич. группы и построен аналог теории приведения [6]. Относительно разнообразных арифметич. применений группы А. см. [4], [7].