Адиабатический инвариант

термин фи-зич. происхождения с математически не вполне точным содержанием. Обычно А. и. определяются как количественные характеристики движения гамильтоновой системы, почти не изменяющиеся при адиабатическом (т. е. очень медленным по сравнению с характерным масштабом времени для движения в системе) изменении ее параметров (к-рое может продолжаться столь долго, что значения самих этих параметров, в отличие от А. и., значительно изменяются). Так, для простейшей системы [img: http://localhost:8080/file/010109-104.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010109-105.jpg] - малый параметр, а [img: http://localhost:8080/file/010109-106.jpg] - положительная достаточно гладкая функция, А. и. служит [img: http://localhost:8080/file/010109-107.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010109-108.jpg] система [img: http://localhost:8080/file/010109-109.jpg] описывает обычный гармо-нич. осциллятор с частотой [img: http://localhost:8080/file/010109-110.jpg] таким образом, в данном случае при медленном (по сравнению с периодом колебания) изменении параметров системы ее энергия [img: http://localhost:8080/file/010109-111.jpg] + [img: http://localhost:8080/file/010109-112.jpg] меняется пропорционально частоте. Как и в этом примере, обычно подразумевается, что если бы параметры вообще не изменялись, то рассматриваемая гамильтонова система была бы вполне интегрируемой и ее движения были бы квазипериодическими (в данном примере - просто периодическими); известны и другие обобщения. Во многих работах математиков или специалистов по небесной механике, посвященных гамильтоновым системам, близким к вполне интегрируемым, термин "А. и." не используется, хотя полученная там информация позволяет утверждать, что те или иные величины в том или ином случае являются А. и. "Приближенное сохранение" А. и. [img: http://localhost:8080/file/010109-113.jpg] означает, что при всех рассматриваемых [img: http://localhost:8080/file/010109-114.jpg] разность [img: http://localhost:8080/file/010109-115.jpg] остается малой. (При этом производная [img: http://localhost:8080/file/010109-116.jpg] вполне может быть величиной того же порядка, что и производные других параметров системы, лишь бы с течением времени изменения А. и. не накапливались.) Такое приближенное сохранение может иметь место либо на очень большом, но конечном промежутке времени (временные А. и.), либо на всей бесконечной оси t (стационар-н ы е, или вечные, А. и.; см. [1]). Слова "медленное изменение параметров системы" можно уточнять двумя способами: а) функция Гамильтона Нявно зависит от времени t(система неавтономна), но производная [img: http://localhost:8080/file/010109-117.jpg] мала; б) рассматриваемая система с канонич. переменными [img: http://localhost:8080/file/010109-118.jpg] представляет собой подсистему в большей системе с переменными [img: http://localhost:8080/file/010109-119.jpg] к-рая уже автономна и такова, что [img: http://localhost:8080/file/010109-120.jpg] либо изменяются медленно, либо их изменение слабо влияет на подсистему. При всех этих подстановках существование А. и. можно утверждать лишь при различных дополнительных предположениях, к-рым трудно дать отчетливую общую формулировку (см., напр., [1]). Временные А. и. для систем описанного выше типа фактически относятся к асимптотич. методам теории возмущений (при более общей постановке также имеются нек-рые строгие результаты, см. [4]). При доказательстве временной асимптотич. инвариантности к.-л. величины [img: http://localhost:8080/file/010109-121.jpg] обычно строится другая величина [img: http://localhost:8080/file/010109-122.jpg] с теми свойствами, что значения [img: http://localhost:8080/file/010109-123.jpg] осциллируют возле [img: http://localhost:8080/file/010109-124.jpg] имеет более высокий порядок малости, чем производные других параметров системы. Так, в примере [img: http://localhost:8080/file/010109-125.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/010109-126.jpg] = [img: http://localhost:8080/file/010109-127.jpg] (штрих обозначает производную от со по аргументу [img: http://localhost:8080/file/010109-128.jpg]) непосредственное дифференцирование дает [img: http://localhost:8080/file/010109-129.jpg] это гарантирует, что [img: http://localhost:8080/file/010109-130.jpg] - временной А. и. Существование вечных А. и. в случае а) при сколько-нибудь общем характере зависимости Нот t(исключающем, в частности, периодичность или существование пределов при [img: http://localhost:8080/file/010109-131.jpg]) сомнительно. Для случая б) вопрос о вечных А. и. связан с малыми знаменателями (см. [2]). Исторически А. и. играли важную роль в квантовой теории Бора - Зоммерфельда, где имелся рецепт: величины, подлежащие квантованию,- А. и. С созданием последовательной квантовой механики этот рецепт потерял значение. В современной физике А. и. используются при исследовании движения заряженных частиц в электромагнитных полях (см. [3]). Здесь чаще всего фигурирует отношение [img: http://localhost:8080/file/010109-132.jpg], где Н - величина напряженности магнитного поля, [img: http://localhost:8080/file/010109-133.jpg] - компонента скорости частицы, лежащая в плоскости, перпендикулярной к вектору Н;это отношение является А. и. при условии, что магнитное поле мало изменяется по длине ларморовского радиуса. Кроме того, в квантовой механике при адиабатическом изменении состояния нек-рые величины сохраняют свои значения (напр., квантовые числа), исключая процессы, приводящие к вырожденным состояниям системы. Поэтому в квантовой механике тоже можно говорить об А. и., однако они не играют в ней особой роли и даже сам этот термин там обычно не вводится.