Алгебраическая k-теория

- раздел алгебры, к-рый в основном занимается изучением К-функторов [img: http://localhost:8080/file/010115-444.jpg] по существу - это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это - обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу Rэти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротен-дика [img: http://localhost:8080/file/010115-445.jpg] и Уайтхеда [img: http://localhost:8080/file/010115-446.jpg] в нек-ром смысле, являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и топологич. К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В А. К- т. широко используются теория колец, гомологич. алгебра, теория категорий и теория линейных групп. А. K-т. имеет два различных историч. источника, оба лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми топологич. препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с гомотоппч. эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой факторгруппой группы [img: http://localhost:8080/file/010115-447.jpg] - целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П. Следующий шаг связан с рассмотрением топологич. пространства X, доминируемого конечным комплексом, и его обобщенной эйлеровой характеристики [img: http://localhost:8080/file/010115-448.jpg] лежащей в группе [img: http://localhost:8080/file/010115-449.jpg] Вычисление групп Уайтхеда и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей А. К-т. К 2 и другие высшие функторы имеют топологич. приложения такого же типа (напр., препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотонию лежит в нек-рой факторгруппе группы [img: http://localhost:8080/file/010115-450.jpg]. Алгебраич. изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. [10]). Второй источник А. К- т.- алгебраич. доказательство А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Римана - Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказательстве был введен K-функтор К(Х).как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, Битта кольца классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем К-функтор был перенесен в топологию, где нашел многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач. Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологии), теории представлений групп. Развитию А. K-т. для колец (начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порожденными модулями и векторными расслоениями) препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии. В 50 -60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна-из важнейших идей, лежащая в основе А. K-т.,- идея "стабилизации", состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи А. K-т. с взаимности законами в теории алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич. аналог Ватта теоремы периодичности - теория полиномиальных расширений. Для кольца R с единицей группа Гротендика K0(R).определяется как абелева группа, образующими к-рой служат классы изоморфных конечно порожденных проективных Я-модулей, с определяющими соотношениями [img: http://localhost:8080/file/010115-451.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010115-452.jpg] - класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010115-453.jpg] - полная линейная группа над [img: http://localhost:8080/file/010115-454.jpg] вложение [img: http://localhost:8080/file/010115-455.jpg] - прямой предел групп [img: http://localhost:8080/file/010115-456.jpg] - подгруппа в [img: http://localhost:8080/file/010115-457.jpg] порожденная элементарными матрицами [img: http://localhost:8080/file/010115-458.jpg] т. е. матрицами с элементом [img: http://localhost:8080/file/010115-459.jpg] на г,;'-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда Е(R).совпадает с коммутантом группы СL(R). Факторгруппа GL(R)/E(R). обозначается через K1(R).и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга [img: http://localhost:8080/file/010115-460.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010115-461.jpg] определяется в образующих [img: http://localhost:8080/file/010115-462.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010115-463.jpg] соотношениями [img: http://localhost:8080/file/010115-464.jpg] Переходя к прямому пределу, получают группу [img: http://localhost:8080/file/010115-465.jpg] и естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010115-466.jpg] при к-ром [img: http://localhost:8080/file/010115-467.jpg] Ядро ker [img: http://localhost:8080/file/010115-468.jpg] обозначается через [img: http://localhost:8080/file/010115-469.jpg] (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы St(R). Таким образом, [img: http://localhost:8080/file/010115-470.jpg] - функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов K0 и K1 может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порожденному проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий нек-рым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая "универсальная" характеризация позволяет определить аналог функторов K0 и K1 на "достаточно хороших" категориях. В частности, для категории нётеровых R-модулей получаются весьма близкие к Ki-(R) функторы G i -(R). Примеры групп Ki(R). Если R - тело, [img: http://localhost:8080/file/010115-471.jpg] - его мультипликативная группа, то [img: http://localhost:8080/file/010115-472.jpg] - группа целых чисел, [img: http://localhost:8080/file/010115-473.jpg] - циклич. группа 2-го порядка. Если R - конечное поле, то K2(R) = 0. Важным результатом в А. K-т. является точная последовательность Майера- Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма - [img: http://localhost:8080/file/010115-474.jpg] декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром [img: http://localhost:8080/file/010115-475.jpg] - эпиморфизм, то точна последовательность [img: http://localhost:8080/file/010115-476.jpg] причем, если [img: http://localhost:8080/file/010115-477.jpg] также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами [img: http://localhost:8080/file/010115-478.jpg] Если I - двусторонний идеал кольца R, то последовательность Майера - Вьеториса позволяет (см. [8]) определить относительные функторы Ki -(R, I), дающие точную последовательность [img: http://localhost:8080/file/010115-479.jpg] Достаточно полно исследован вопрос о поведении K- функторов при переходе от кольца R к его локалнза-цпл по центральной мультипликативно замкнутой системе. В частности, при соответствующих условиях на кольцо Rдля функтора С 0(R) получена точная последовательность [img: http://localhost:8080/file/010116-1.jpg] Если кольцо Rкоммутативно, то группа K0(R).превращается в кольцо с единицей путем введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца [img: http://localhost:8080/file/010116-2.jpg] на кольцо [img: http://localhost:8080/file/010116-3.jpg] непрерывных целочисленных функций (кольцо [img: http://localhost:8080/file/010116-4.jpg] рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца R. Ядро этого гомоморфизма обозначается [img: http://localhost:8080/file/010116-5.jpg] Известно, что. [img: http://localhost:8080/file/010116-6.jpg] является нильрадикалом кольца K0(R), причем если R- нётеро-во и размерность его максимального спектра равна [img: http://localhost:8080/file/010116-7.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010116-8.jpg] Если же эта размерность не превосходит 1, то группа [img: http://localhost:8080/file/010116-9.jpg] изоморфна Пикара группеPic (K). Для колец арифметич. типа существуют теоремы конечности для функторов Ki (R).и Gi (R). Именно, если Аявляется кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, a Rявляется R-порядком и одновременно Я-решеткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца А, то группы [img: http://localhost:8080/file/010116-10.jpg] конечно порождены (i= 0, 1). Развитию А. А-т. способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметич. группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы [img: http://localhost:8080/file/010116-11.jpg] для идеалов [img: http://localhost:8080/file/010116-12.jpg] Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если R - коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр к-рого имеет размерность d,a A - конечномерная R-алгебра, то любой конечно порожденный проективный А-модуль Ртакой, что [img: http://localhost:8080/file/010116-13.jpg] для всех максимальных идеалов ткольца Rизоморфен [img: http://localhost:8080/file/010116-14.jpg] (здесь [img: http://localhost:8080/file/010116-15.jpg] - локализация модуля [img: http://localhost:8080/file/010116-16.jpg]). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца R, А и модуль Р - такие же, как выше, Q-конечно порожденный проективный А-модуль и М, N - произвольные А-модули. Тогда из [img: http://localhost:8080/file/010116-17.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/010116-18.jpg] С вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца R. Напр., если R - коммутативное кольцо стабильного ранга меньше d, то [img: http://localhost:8080/file/010116-19.jpg] В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы Ki от групповых колец. Один из результатов этого направления: если G - конечная группа порядка пи С - семейство циклич. подгрупп группы G, то показатель подгруппы [img: http://localhost:8080/file/010116-20.jpg] в группе [img: http://localhost:8080/file/010116-21.jpg] при i=0, 1, 2 делит п. О полиномиальных расширениях колец известно, что если R - регулярное кольцо, то [img: http://localhost:8080/file/010116-22.jpg] Кроме того, для произвольного кольца R точна последовательность [img: http://localhost:8080/file/010116-23.jpg] Одним из результатов о вычислении функтора [img: http://localhost:8080/file/010116-24.jpg] является теорема Мацумото: если R - поле, то группа [img: http://localhost:8080/file/010116-25.jpg] задается образующими [img: http://localhost:8080/file/010116-26.jpg] (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам аполя R) и соотношениями [img: http://localhost:8080/file/010116-27.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010116-28.jpg] В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов [img: http://localhost:8080/file/010116-29.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010116-30.jpg] Было доказано [9] совпадение этих теорий, дающих классич. функторы [img: http://localhost:8080/file/010116-31.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010116-32.jpg] В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших K-групп. Начала развиваться унитарная K-теория (см. [9], т. 3), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на к-рых определены квадратичные и билинейные формы.