Алгебраический многочлен наилучшего приближения

- многочлен, наименее уклоняющийся от заданной функции. Точнее, пусть измеримая функция f(x).интегрируема с р-й степенью [img: http://localhost:8080/file/010117-164.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/010117-165.jpg] - множество алгебраич. многочленов степени не выше п. Величину [img: http://localhost:8080/file/010117-166.jpg] наз. наилучшим приближением, а многочлен, для к-рого нижняя грань достигается, наз. алгебраическим многочленом наилучшего приближения в [img: http://localhost:8080/file/010117-167.jpg]. Многочлены, наименее уклоняющиеся от данной непрерывной функции в равномерной [img: http://localhost:8080/file/010117-168.jpg] метрике, впервые встретились (1852) у П. Л. Чебышева и были исследованы им в 1856 (см. [1]). Доказательство существования А. м. н. п. дано Э. Борелем [2]. П. Л. Чебышев показал, что [img: http://localhost:8080/file/010117-169.jpg] является А. м. н. п. в равномерной метрике тогда и только тогда, когда у разности [img: http://localhost:8080/file/010117-170.jpg] существует чебышевский алътернанс;в этом случае такой многочлен единствен. При [img: http://localhost:8080/file/010117-171.jpg] А. м. н. п. единствен в силу строгой выпуклости пространства [img: http://localhost:8080/file/010117-172.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010117-173.jpg] единственности нет, но для непрерывных функций единственность А. м. н. п. доказана Д. Джексоном {3]). Скорость стремления [img: http://localhost:8080/file/010117-174.jpg] к нулю оценивается в Джексона теореме. Аналогично (*) определяется А. м. н. п. для большого числа тпеременных. Если число переменных m>=2, то А. м. н. п. (в равномерной метрике), вообще говоря, не единствен.