Алгебраических многообразий арифметика

арифметическая алгебраическая геометрия,- направление в алгебраич. геометрии, изучающее свойства алгебраич. многообразий, определенных над полями так наз. арифметического типа, т. е. конечными, локальными и глобальными полями алгебраич. чисел или алгебраич. функций. В случае конечных полей основным является изучение числа рациональных точек алгебраич. многообразия в этих полях н их конечных расширениях. Используемая для такого изучения дзета-функция многообразия оказала большое влияние на развитие методов алгебра-нч. геометрии. Большое значение имеют также оценки числа точек снизу (см. [1], [4]). Если X - алгебрапч. многообразие (или схема) над локальным полем К с полем вычетов k, то рассмотрение множества [img: http://localhost:8080/file/010117-298.jpg] рациональных точек со значениями в А' позволяет связать две совершенно различные задачи: нахождение решений сравнений (пли точек многообразий над конечными нолями) и целочисленных или рациональных решений дпофантовых уравнений (см. Хассе принцип). Задавая многообразие Xсистемой уравнений с коэффициентами из кольца Ацелых элементов поля K, можно определить редукцию этого многообразия той же системой уравнений, но с коэффициентами, взятыми по модулю максимального идеала кольца А. Получаются "многообразие" [img: http://localhost:8080/file/010117-299.jpg] над полем вычетов kи канонич. отображение, или редукция: [img: http://localhost:8080/file/010117-300.jpg] Приведенное описание редукции трудно объяснить в рамках классич. алгебраич. геометрии. Это явилось одной из причин введения понятия схем, на языке к-рых описанный процесс допускает строгое определение. Основная задача состоит в определении образа отображения Red, т. е. в нахождении тех точек [img: http://localhost:8080/file/010117-301.jpg] к-рые поднимаются до рациональных K-точек многообразия; Гензеля лемма утверждает, что это так, если [img: http://localhost:8080/file/010117-302.jpg] - неособая точка. Наиболее общие результаты об этом см. [4]. Другим кругом вопросов, относящихся к локальной А. м. а., является изучение форм над такими полями. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010117-303.jpg] -форма от [img: http://localhost:8080/file/010117-304.jpg] переменных степени [img: http://localhost:8080/file/010117-305.jpg] над локальным полем; гипотеза Артина утверждает, что при [img: http://localhost:8080/file/010117-306.jpg] уравнение [img: http://localhost:8080/file/010117-307.jpg] имеет нетривиальное решение. В функциональном случае справедливость этого утверждения известна. Для [img: http://localhost:8080/file/010117-308.jpg] -адпческих полей доказано, что для каждого [img: http://localhost:8080/file/010117-309.jpg] имеется такое конечное число простых [img: http://localhost:8080/file/010117-310.jpg], что гипотеза Артина верна для форм степени d;если [img: http://localhost:8080/file/010117-311.jpg]. В 1966 было показано, что уже множество A(L).не пусто, тем самым гипотеза Артина была опровергнута (см. [4]). Неизвестно (1977), верна ли она для форм нечетной степени. А. м. а. над глобальными полями представляет собой наиболее обширную и разветвленную область алгебраич. геометрии. Сюда относятся диофантова геометрия, теория полей классов, теории дзета-функций многообразий, комплексное умножение абелевых функций (или многообразий). Все эти теории развиваются параллельным образом для числовых и функциональных полей. Впервые такая возможность была продемонстрирована развитием теории полей классов в 30-х гг. 20 в., она основана на глубокой аналогии между этими полями, получившей наиболее полное воплощение в конструкциях теории схем.